2.2.4. Биномиальное распределение

Биномиальное распределение служит вероятностной моделью для многих явлений. Рассмотрим последовательность n независимых испытаний Бернулли, в каждом из которых может произойти один из двух исходов. Обозначим через p вероятность «успеха» в отдельном испытании и - q вероятность «неудачи». Для каждого отдельного испытания i введем случайную величину , которая может принимать два значения: 1, если испытание закончилось «успехом» и 0, если – «неудачей». Случайная величина η - число «успехов» при n независимых испытаниях в схеме Бернулли будет равна сумме независимых случайных величин , т.е. . (2.37)

Отсюда следует, что случайная величина η может принимать возможные значения m=0,2,…,n. Вероятность того, что случайная величина η после завершения всех испытаний примет значение m можно найти по формуле Бернулли

P (η =m) = , m=0, 1, … ,n. (2.38)

Определение. Случайная величина η имеет биномиальное распределение с параметрами n и p, если она принимает значения, m=0, 1,…, n с вероятностями по формулам (2.38).

Вычислим математическое ожидание и дисперсию случайной величины, имеющей биномиальное распределение. Из формулы (2.20) и свойств математического ожидания и дисперсии для суммы несовместных случайных

величин следует, что

,

.

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины будут соответственно равны

M(_i)=1p+0q=p,

D(_i)=1² p+0² q – p²=pq.

Для случайной величины η, имеющей биномиальное распределение с параметрами n и p, математическое ожидание и дисперсия имеют вид:

M(η)=np, D(η)=npq.

Пример 2.9. В коробке находятся 3 однотипных изделия, при этом каждое может быть или бракованным, или стандартным. Рассмотрим случайную величину, которая определяет число бракованных изделий в коробке. «Успехом» отдельного испытания будем считать наличие в коробке некоторого числа бракованных изделий. Тогда случайная величина  может принять значения x₁=0, x₂=1, x₃=2, x₄=3 (варианты количества бракованных изделий) и имеет биномиальное распределение. Требуется найти вероятности событий, которые будут соответствовать значениям случайной величины. Последовательно при i=0, 1, 2, 3 из формулы (2.38) получим вероятности для возможных значений этой случайной величины:

p₁=P(=0)= ; p₂ =P(=1)= ;

p₃ =P(=2) = ; p₄ =P(=3) = .

Теперь можно записать таблицу для ряда распределения:

	0	1	2	3
pi	q3	3pq2	3p2q	p3

Математическое ожидание и дисперсию находим по формулам (2.21) и (2.23) соответственно

M()=3p, D()=3 p q .

2.2.5. Распределение Пуассона

Определение. Случайная величина  распределена по закону Пуассона с параметром распределения >0, если она принимает значения m= 0,1, 2,…

с вероятностями

p_m= P ( =m ) = , m= 0,1,2,… (2.39)

Пример 2.10. Рассмотрим случайную величину , равную числу покупателей, посетивших супермаркет в промежутке времени от t₀ до T. Появление покупателей - случайные события и происходят в случайные моменты времени.

Сделаем следующие предположения.

1. Вероятность появления одного покупателя за малый промежуток времени пропорциональна , т. е. равна

а > 0,

где - бесконечно малая величина при .

2. Если за малый промежуток времени уже произошло одно событие, то условная вероятность появления в этом же промежутке другого события стремится к 0 при

3. События на непересекающихся промежутках времени являются независимыми случайными величинами.

В этих условиях можно доказать, что число покупателей, посетивших супермаркет в промежутке времени от t₀ до T распределено по закону Пуассона с параметром

Вопросы для самопроверки

1. Как вычислить математическое ожидание и дисперсию:

а) для дискретной случайной величины?

б) для непрерывной случайной величины?

2. Как найти плотность вероятности для случайной величины, имеющей равномерное распределение?

3. Что такое нормально распределенная случайная величина?

4. Какие другие законы распределения известны?