1.4 Лабораторна робота 1

У середовищі програмування «Delphi» написати процедури-функції для виконання матричних операцій: перемноження матриці на число, перемноження вектора на матрицю, перемноження матриць, також процедуру-функцію для розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь, що складаються з 3 – 12 рівнянь.

Указівки до виконання лабораторної роботи 1

1. Написати процедури з перемноження матриці A розміром mn на:

а) число C;

б) вектор-стовпець В розміром m;

в) матрицю В розміром km.

2. Створити програму з вирішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь будь-яким методом.

3. Перевірити правильність розрахунків, що виконують розроблені процедури-функції, за допомогою математичного пакету «Mathcad».

Приклади виконання лабораторної роботи 1

Приклад 1

Перемножити матрицю A розміром 32 на число C:

Розв’язок

Приклад 2

Перемножити матрицю A розміром 32 на вектор-стовпець В розміром 3:

Розв’язок

Приклад 3

Перемножити матрицю A розміром 32 на матрицю В розміром 23:

Розв’язок

Приклад 4

Розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь матричним методом:

.

Розв’язок. Знайдемо зворотну матрицю для матриці коефіцієнтів системи

.

Обчислимо визначника, розкладаючи за першим рядком:

Оскільки Δ ≠ 0, то A^-1 існує:

Зворотна матриця знайдена вірно.

Знайдемо вирішення системи:

.

Отже, x₁ = 1, x₂ = 2, x₃ = 3.

Перевірка:

Система вирішена вірно.

Приклад 5. Розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь методом Гауса:

Розв’язок. Визначник системи не дорівнює нулю. Тому система спільна і визначена (рішення єдине). Виконаємо перетворення.

Перше рівняння залишимо без зміни. Для того щоб позбавитися від першого невідомого в другому і третьому рівняннях, до них додамо перше, помножене на -2 у першому випадку і на -1 – у другому:

.

Тепер позбавимося від другого невідомого в третьому рівнянні. Для цього друге рівняння помножимо на -2 і додамо до третього. Отримаємо систему трикутного виду, що еквівалентна заданій:

.

Вирішуємо систему від низу до верху. З третього рівняння маємо x₃= 3 і, підставляючи його в друге рівняння, знаходимо x₂= 2. Поставивши знайдені невідомі в перше рівняння, отримаємо x₁= 1. Таким чином, отримаємо розв’язання системи: x₁= 1, x₂= 2, x₃= 3.

Перевірка:

.

Отримали три тотожності.

2 Визначення внутрішніх зусиль та напружень у конструкціях, що перебувають в одноосному напруженому стані

2.1 Загальне уявлення про метод кінцевих елементів

Методом кінцевих елементів (МКЕ) є ефективний чисельний метод вирішення інженерних і фізичних задач. Основна ідея МКЕ полягає в тому, що будь-яку безперервну таку величину, як: температура, тиск і переміщення – можливо апроксимувати дискретною моделлю, яка будується на безлічі кусочно-безперервних функцій.

При побудові дискретної моделі безперервної величини поступають таким чином:

2. У даної області фіксується кінцева кількість точок. Ці точки називаються вузловими точками або вузлами.

3. Значення безперервної величини в кожній з вузлових точок вважається змінною, яка може бути визначена.

4. Область визначення безперервної величини поділяється на кінцеву кількість областей (елементів). Ці елементи мають спільні вузлові точки і в сукупності апроксимують форму області.

5. Безперервна величина апроксимується на кожному елементі поліномом, який визначається за допомогою вузлових значень цієї величини. Для кожного елемента визначається свій поліном (функція елемента), причому поліноми підбираються таким чином, щоб збереглася безперервність величини уздовж меж елемента. Від вибору форми елемента і функцій для конкретних задач залежить точність наближеного розв’язання.

Будь-яка задача МКЕ зрештою зводиться до системи рівнянь: ???

,

де – матриця жорсткості конструкції в цілому, вона є ансамблем матриць жорсткості кінцевих елементів, з яких складається конструкція;

– вектор переміщення всіх вузлів;

– вектор вузлових навантажень.

Порядок системи дорівнює результату перемноження кількості вузлів на кількість степенів вільності вузла.