1.3 Системи лінійних рівнянь алгебри

1.3.1 Загальні відомості про системи лінійних рівнянь

Система лінійних рівнянь має вигляд:

, (1.1)

де x₁, x₂...x_m – невідомі;

a_ij і l_i – відомі числа.

Якщо всі вільні члени дорівнюють нулю, то систему називають однорідною.

Якщо матрицю коефіцієнтів позначити через А, стовпець невідомих – через Х, стовпець вільних членів – через L, то система набуде вигляду:

Так може бути подана будь-яка система.

Рішенням системи називається будь-який впорядкований набір чисел, при підстановці яких замість невідомих кожне рівняння системи перетворюється на тотожність.

Система лінійних рівнянь може мати:

- єдине рішення (система сумісна і визначена);

- понад одне рішення (система сумісна і невизначена);

- не мати рішень (система несумісна).

Для спільності системи необхідно, щоб ранг матриці коефіцієнтів А цієї системи дорівнював рангу її розширеної матриці (теорема Кронекера – Капеллі). Якщо до матриці коефіцієнтів додати стовпець вільних членів, то вийде розширена матриця системи (1.1):

.

Отже, система (1.1) спільна тоді і лише тоді, коли

.

Число r називається рангом системи.

Якщо ранг спільної системи дорівнює кількості невідомих (r =m), то система є визначеною (єдине рішення).

Якщо ж ранг спільної системи менше кількості невідомих, то система – невизначена. У такій системі буде r базисних невідомих і m-r вільних невідомих. Надаючи вільним невідомим довільні значення, можна знайти відповідні значення базисних невідомих. Отже, система (1.1) в цьому випадку має безліч рішень.

Система може і не мати рішень (система несумісна) у випадку

.

Вирішити систему – значить, знайти всі її рішення (у разі невизначеної системи – вказати правило, по якому можна знайти будь-яке її рішення, тобто дати формулу загального рішення) або довести її несумісність.

Наприклад, однорідна система лінійних рівнянь завжди спільна і має хоч би одне рішення x₁ = x₂ = ... = x_m = 0. Це рішення не завжди єдине.

1.3.2 Матричний метод розв’язання систем лінійних рівнянь

Матричним методом можуть бути розв’язанні тільки ті системи, у яких кількість рівнянь збігається з кількістю невідомих, і визначник матриці коефіцієнтів відмінний від нуля (матриця А невироджена).

З цих умов виходить, що , і отже, система сумісна і визначена.

Розв’язання системи можна отримати так:

.

Використовуючи властивості добутку матриць і властивість оберненої матриці,

Тобто, для отримання стовпця невідомих потрібно обернену матрицю матриці коефіцієнтів системи помножити на стовпець вільних членів.

Матричний метод годиться для розв’язання будь-яких систем, у яких матриця А квадратна і невироджена.

1.3.3 Метод Гауса

Цей метод розв’язання систем лінійних рівнянь придатний для розв’язання систем з будь-якою кількістю рівнянь і невідомих.

Суть методу Гауса полягає в перетворенні заданої системи рівнянь за допомогою елементарних перетворень на еквівалентну систему трикутного виду.

Отримана система містить усі невідомі в першому рівнянні. У другому рівнянні відсутнє перше невідоме, у третьому рівнянні відсутнє перше і друге невідомі і так далі.

Якщо система сумісна і визначена (єдине рішення), то останнє рівняння містить одне невідоме. Знайшовши останнє невідоме, з попереднього рівняння знаходимо ще одне – передостаннє. Підставляючи отримані величини невідомих, ми послідовно знайдемо розв’язання системи.

Елементарними перетвореннями системи лінійних рівнянь, що використовуються для приведення системи до трикутного вигляду, є наступні перетворення:

- перестановка місцями двох рівнянь;

- множення обох частин одного з рівнянь на будь-яке число, відмінне від нуля;

- збільшення до обох частин одного рівняння відповідних частин іншого рівняння, помножених на будь-яке число.

Елементарні перетворення переводять дану систему лінійних рівнянь алгебри в еквівалентну систему.

Дві системи називаються еквівалентними, якщо всяке вирішення першої системи є вирішенням іншої системи і навпаки.

Нехай початкова система має такий вигляд:

(2)

Алгоритм розв’язання СЛАУ методом Гауса підрозділяється на два етапи.

На першому етапі здійснюється так званий прямий хід, коли шляхом елементарних перетворень над рядками системі надають ступінчастої або трикутної форми або встановлюють, що система несумісна. Серед елементів першого стовпця матриці вибирають ненульовий, переміщають його на крайнє верхнє положення перестановкою рядків і віднімають перший рядок, який отримано після перестановки, з інших рядків, помноживши його на величину, рівну відношенню першого елемента кожного з цих рядків до першого елемента першого рядка, обнуляючи тим самим стовпець під ним:

Після того, як вказані перетворення були здійснені, перший рядок і перший стовпець подумки викреслюють і продовжують, доки не залишиться матриця нульового розміру. Якщо на якійсь з ітерацій серед елементів першого стовпця не знайшовся ненульовий, то переходять до наступного стовпця і робляють аналогічну операцію:

(4)

На другому етапі здійснюється так званий зворотний хід, суть якого полягає в тому, щоб виразити базисні змінні, що вже вийшли, через небазисні і побудувати фундаментальну систему рішень або, якщо всі змінні є базисними, то виразити в чисельному вигляді єдине розв’язання системи лінійних рівнянь. Ця процедура починається з останнього рівняння, з якого виражають відповідну базисну змінну і підставляють в попередні рівняння, і так далі, піднімаючись уздовж головної діагоналі вгору. Кожній строчці відповідає рівно одна базисна змінна, тому на кожному кроці, окрім останнього (самого верхнього), ситуація в точності повторює випадок останнього рядка:

. (5)