1.2 Дії над матрицями
1.2.1 Складання і віднімання матриць
Складати і віднімати можна тільки матриці однакової розмірності.
Сумою (різницею) двох матриць називається матриця тієї ж розмірності, що і початкові, кожен елемент якої визначається як сума (різниця) відповідних елементів матриць:
.
Очевидно, результат складання не зміниться, якщо складові матриці поміняти місцями.
Якщо до матриці додати або від неї відняти нульову матрицю тієї ж розмірності, то отримаємо початкову матрицю.
1.2.2 Множення матриці на число
У результаті множення матриці на число виходить матриця такої ж розмірності, що і початкова, кожен елемент якої є результатом добутку відповідного елементу початкової матриці на число:
.
Ми отримаємо однаковий результат, перемножуючи число на матрицю або матрицю на число.
З визначення виходить, що загальний множник усіх елементів матриці можна виносити за знак матриці.
1.2.3 Множення вектора на матрицю
Вектор x можна помножити на матрицю A відповідної розмірності. Якщо розмірність вектора N, а розмірність матриці M×N, то в результаті вийде вектор розмірності M:
.
Якщо матриця A квадратна (I×I), то вектор y = Ax має ту ж розмірність, що й x. Очевидно, що
A(α1x1 + α2x2) = α1Ax1 + α2Ax2.
Тому матриці можна розглядати як лінійні перетворення векторів. Зокрема: 1x = x, 0x = 0.
1.2.4 Перемноження векторів
Два вектори однакової розмірності N можна перемножити. Нехай є два вектори x = (x1, x2,...,xN)t і y = (y1, y2,..., yN)t. Керуючись правилом перемножування «рядок на стовпець», ми можемо отримати з них два добутоки: xty і xyt.
Перший добуток
називається скалярним або внутрішнім. Його вигляд – це число. Для нього також використовується позначення (x,y) = xty.
Другий добуток
називається зовнішнім. Його результат – це матриця розмірності (N×N).
Вектори, скалярний добуток яких дорівнює нулю, називаються ортогональними.
1.2.5 Множення матриці на матрицю
Множити одну на одну можна лише ті матриці, для яких кількість стовпців першого співмножника дорівнює кількості рядків другого співмножника. Результатом множення є матриця, у якій кількість рядків дорівнює кількості рядків першого співмножника, а кількість стовпців збігається з кількістю стовпців другого співмножника.
Іншими словами, перемножувати можна ті матриці, у яких збігаються середні індекси. Крайні індекси визначають розмірність отримуваного результату:
.
Елемент ci,j матриці відповіді належить i-му рядку і j-му стовбцю, обчислюється як результат переемноження i-го рядка першого співмножника An,m на j-ий стовпець другого співмножника Bm,k. Так, наприклад, при обчисленні елемента умножається перший рядок на третій стовпець, а при обчисленні елемента умножається третій рядок на перший стовпець.
Можна перемножувати лише ті рядки і стовпці, у яких однакова кількість елементів (дивися умову можливості множення матриць). У результаті виходить число, яке дорівнює сумі добутків відповідних елементів (перший елемент рядка на перший елемент стовпця плюс другий елемент рядка на другий елемент стовпця і так далі і, нарешті, плюс добуток останніх елементів).
Розглянемо
множення матриць на прикладі
:
,
де
Відзначимо основні властивості операції добутоку матриць.
1)
У загальному випадку
.
Якщо
,
то матриці А
і
В
називаються
переставними
у відношенні
одна до одної.
2)
.
3)
.
4) При множенні будь-якої квадратної матриці на одиничну початкова матриця не міняється