4.1.2 Згинання з крученням круглих валів

При розгляді кручення припускалося, що в поперечних перерізах круглого стрижня виникає лише крутний момент. Однак такі деталі машин, як вали, рідко працюють на чисте кручення. Навіть прямий вал при роботі згинається власною вагою, вагою шківів, натягненням ременів і так далі. Таким чином, більшість скручуваних елементів машин працюють на спільну дію згинання і кручення.

При дії вигинання і кручення в поперечних перерізах вала виникає п'ять внутрішніх силових чинників: крутний момент М_кр, згинальні моменти М_х і М_у, поперечні сили Q_x і Q_y.

Рисунок 4.3 – Згинання з крученням круглого вала

Таким чином, у будь-якому поперечному перерізі одночасно виникають нормальні напруження від вигинання у двох площинах, а також дотичні напруження від вигинання і кручення. Для розрахунку вала в першу чергу мають бути побудовані епюри згинальних моментів М_х, М_у і крутного М_кр=М_z. Для цього навантаження, що діє на вал, розкладаємо на складові вздовж координатних осей, а потім будуємо епюри:

• згинальних моментів відносно вертикальної осі (М_у) від горизонтальних проекцій сил Р_1х, Р_2х., P_nx;

• згинальних моментів відносно горизонтальної осі (М_х) від вертикальних проекцій сил P_1y, P_2y., P_ny;

• крутних моментів (М_кр).

Розкладемо навантаження на горизонтальну і вертикальну плоскості і будуємо епюри згинальних моментів M_x і M_y. Маючи ці епюри, можемо для кожного перерізу вала знайти повний згинальний момент М_зг, як геометричну суму обох складових:

.

Далі будуємо епюру крутних моментів М_кр і відшукуємо небезпечні перерізи, що поєднують відносний екстремум M_зг і М_кр. Тепер в небезпечному перерізі можуть бути знайдені небезпечні точки. Очевидно, небезпечними можуть бути точки А і В (рис. 4.2) (точки, найбільш віддалені від нейтральної лінії, положення яких легко знайти, оскільки  =, а нейтральна лінія n-n перпендикулярна силовій лінії).

Рисунок 4.4

Будуємо епюри _і від згинального моменту, які міняються пропорційно відстані точок від нейтральної лінії. У точках А і В нормальні напруження від вигинання і дотичні від кручення мають одночасно найбільші значення ( від вигину в цих точках дорівнюють нулю і взагалі _зг<<_кр).

Виділимо елементарну частку матеріалу (рис. 4.5) довкола найбільш небезпечної точки (наприклад, точки В).

По чотирьох гранях діють дотичні напруження, а до двох з них прикладені нормальні напруження, останні дві грані абсолютно вільні від напружень. Таким чином, при згинанні з крученням елемент у небезпечній точці перебуває в плоскому напруженому стані, як і в брусі, що згинається.

Рисунок 4.5

Тому тут головні напруження треба визначати за тими же формулами, що і при згинанні:

Різниця між формулами для поперечного згинання і згинання з крученням тільки в тому, що в останньому випадку дотичні напруження викликаються крутним моментом, а при згинанні – поперечною силою. Для перевірки міцності вала ми повинні визначити еквівалентні (приведені) напруження за відповідною теорією міцності і порівняти їх з допустимими. У зв'язку з тим, що вали звично виготовляються з пластичних матеріалів, можна використовувати третю і четвертую теорії міцності:

; (4.8)

(4.9)

Замінимо напруження _зг та _кр через згинальний та крутний моменти:

Підставивши їх в теорії міцності, отримаємо за третією теорією міцності:

Звідки

(4.10)

За четвертою теорією міцності (енергетичній):

,

або (4.11)

Формули (4.10) і (4.11) за своєю структурою цілком збігаються з формулами (4.9) та (4,10), тому перевірка міцності круглого вала на спільну дію кручення і згинання може бути записана у вигляді

, (4.12)

де приведені моменти, еквівалентні дії трьох моментів, рівні:

(4.13)

або ; (4.14)

.

Маючи умову міцності, можна здійснювати проектувальний розрахунок або підбір перерізу вала:

Оскільки ,

отримуємо .