Вопросы для подготовки к контролям по модулям и экзамену Модуль 1 Элементарные функции и пределы
Числовая последовательность. Предел последовательности; сходящиеся и расходящиеся последовательности. Теорема о единственности предела сходящейся последовательности (формулировка).
Ограниченная числовая последовательность. Теорема об ограниченности сходящейся числовой последовательности (с доказательством). Признак Вейерштрасса сходимости монотонной последовательности (формулировка).
Определения по Коши конечного и бесконечного предела функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы функции. Определение предела функции по Гейне. Теорема о связи двустороннего предела функции в точке с односторонними пределами (с доказательством).
Теорема о единственности предела функции (формулировка).
Ограниченные и локально ограниченные функции. Теорема о локальной ограниченности функции, имеющей конечный предел (формулировка).
Бесконечно малые функции. Теорема о связи функции, ее предела и бесконечно малой (с доказательством).
Теорема о сумме конечного числа бесконечно малых функций (с доказательством).
Теорема о произведении бесконечно малой на ограниченную функцию (с доказательством).
Бесконечно большие функции. Теорема о связи бесконечно малой и бесконечно большой функций (с доказательством).
Теоремы о пределе суммы, произведения и частного функций (формулировка).
Теорема о пределе сложной функции (формулировка).
Теорема о знакопостоянстве функции, имеющей ненулевой предел (формулировка).
Теорема о предельном переходе в неравенстве (формулировка).
Теорема о пределе промежуточной функции (формулировка).
Первый замечательный предел (с выводом). Второй замечательный предел (без вывода).
Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций. Теоремы об эквивалентных бесконечно малых и бесконечно больших функциях (с доказательством).
Непрерывность функции действительного переменного в точке. Теорема о непрерывности сложной функции (формулировка).
Точки разрыва и их классификация. Доказательство непрерывности функции
.Непрерывность функции на отрезке. Свойства функций, непрерывных на отрезке (формулировки соответствующих теорем).
Модуль 2 Дифференциальное исчисление функций одного переменного
Производная функции в точке. Касательная к графику функции, геометрический смысл производной. Вывод уравнений касательной и нормали к графику функции.
Дифференцируемость функции в точке. Теорема о связи дифференцируемости функции с существованием конечной производной (с доказательством). Связь дифференцируемости и непрерывности функции (с доказательством).
Основные правила дифференцирования. Вывод формул для вычисления производных суммы, произведения, частного.
Теорема о дифференцируемости сложной функции (формулировка).
Теорема о дифференцируемости обратной функции (формулировка).
Дифференциал функции (определение, геометрический смысл). Инвариантность формы записи дифференциала первого порядка (с доказательством)
Формулировки теорем Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши.
Формулировка теоремы Бернулли – Лопиталя для предела отношения двух бесконечно малых функций.
Сравнение на бесконечности порядков роста показательной, степенной и логарифмических функций.
Формулы Тейлора с остаточным членом в форме Пеано и в форме Лагранжа (формулировка соответствующих теорем).
Формула Маклорена. Разложение по формуле Маклорена основных элементарных функций:
,
,
,
,
.Необходимое и достаточное условия возрастания и убывания дифференцируемой функции (формулировка).
Понятие экстремума. Формулировка необходимого условия существования экстремума дифференцируемой функции. Формулировка достаточного условия существования экстремума функции по ее первой производной. Формулировка достаточного условия существования экстремума функции по ее второй производной.
Понятие выпуклой (вверх, вниз) функции (ее графика). Формулировка достаточного условия выпуклости дважды дифференцируемой функции.
Определение точек перегиба функции. Формулировка необходимого и достаточного условий для точек перегиба функции.
Асимптоты функции. Вывод уравнения наклонной асимптоты.