Дома: ол-4 №№ 1.424, 1.425, 1.426, 1.427, 1.435, 1.437, 1.439, 1.485, 1.487, 1.500, 1.501. Вопросы для проверки знаний Контрольные мероприятия и сроки их проведения
Контрольная работа «Техника дифференцирования».
Срок проведения – 12 неделя
ДЗ №3 «Исследование функций и построение графиков»
Срок выдачи 9 неделя, срок сдачи - 16 неделя
Контроль по модулю №2 (РК №2) «Исследование функций и построение графиков»
Срок проведения – 17 неделя
Типовые задачи, используемые при формировании вариантов текущего контроля
Домашнее задание №1 «Элементарные функции и их графики»
Задача
1. Найти область определения функции
.
Задача
2. Исследовать функцию
на четность (нечетность).
Задача 3. Используя элементарные преобразования, построить эскизы графиков следующих функций:
а)
,
б),
в)
,
г)
,
д)
.
Задача
4. Построить эскиз графика рациональной
функции
,
исследуя его расположение относительно
оси абсцисс и асимптот.
Задача
5. Используя правила построения графика
суммы, произведения, частного или
композиции двух функций, построить
эскиз графика функции
.
Домашнее задание №2 «Пределы и непрерывность»
Задача
1. Для заданной последовательности
и числа
доказать, что
,
определив для каждого
число
,
такое, что
для всех
.
Заполнить таблицу:
|
0,1 |
0,01 |
0,001 |
|
|
|
|
Задача 2. Вычислить следующие пределы:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
.
Задача 3.
1) Показать, что данные функции f и g являются бесконечно малыми или бесконечно большими при указанном стремлении аргумента.
2)
Для каждой функции f
и g
записать главную часть (эквивалентную
ей функцию) вида
при
,
или
при
,
указать их порядки малости (роста).
3)
Сравнить f
и g
при
,
если
,
.
Задача
4. Найти точки разрыва функции
и определить их характер. Построить
фрагменты графика функции в окрестности
каждой точки разрыва:
Домашнее задание №3 «Исследование функций и построение графиков»
Задача 1. Исследовать заданные функции и построить их графики:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
Задача
2. Разложить функцию
по формуле Маклорена 3-го порядка с
остаточным членом в форме Пеано.
Задача 3. Из всех равнобедренных треугольников с заданным периметром найти тот, у которого площадь максимальна.
Контрольная работа «Техника дифференцирования»
Задача
1. Для заданных функций найти
.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
Задача
2. Найти производную
функции
,
заданной параметрически:
Задача
3. Найти производные
,
в точке
функции
,
заданной неявно уравнением
.
Задача
4. Составить уравнение касательной и
нормали к кривой
,
в точке
.
Сделать чертеж.
Задача
5. Вывести, исходя из определения,
производную функции
.
Замечание: возможно включение теоретических вопросов.
Контроль по модулю №1
Задача 1. Числовая последовательность. Предел последовательности; сходящиеся и расходящиеся последовательности. Доказать теорему о единственности предела сходящейся последовательности.
Задача
2. Сформулировать определение по Коши
для предела
.
Привести соответствующий пример (с
геометрической иллюстрацией).
Задача 3. Вычислить пределы:
1)
,
2)
,
3)
,
4)
.
Задача
4. Выясните, является ли функция
бесконечно малой при
.
Если да, найдите значения C
и k,
для которых
при
эквивалентна функции
.
Задача
5. Найти точки разрыва функции
,
исследовать их характер, построить
график функции в их окрестности.
Контроль по модулю №2
Задача 1. Сформулировать определение дифференцируемости функции в точке. Доказать теорему о связи дифференцируемости функции с существованием конечной производной.
Задача
2. Исследовать функцию
и построить ее график.
Задача 3. По графику производной построить график функции (представлен график производной в виде кусочно-линейной функции).
Задача
4. Вычислите предел
,
используя правило Лопиталя-Бернулли.
Задача
5. Разложите функцию
по формуле Тейлора 3-го порядка в
окрестности точки
.
Записать остаточный член в форме а)
Пеано, б) Лагранжа.
Задача
6. С помощью формулы Маклорена найти
.