Раздел 11. Числовые и функциональные ряды. Ряды

Фурье

Рядом называется выражение вида

(11.1)

каждое слагаемое при этом называется членом ряда.

Если все члены ряда – числа, то ряд называется числовым, если же они являются функциями, то ряд называется функциональным. Сумма конечного числа n первых членов числового ряда называется n-й частичной суммой:

(11.2)

Остатком ряда (11.1) называется выражение

.

Если существует конечный предел частичных сумм

(11.3)

то он называется суммой ряда. Ряд в этом случае называется сходящимся. В противном случае ряд расходится и суммы не имеет.

Если все члены числового ряда положительны, то ряд называется знакоположительным.

Ряд, содержащий как положительные, так и отрицательные члены, называется знакопеременным.

Знакочередующимся рядом называется ряд вида

(11.4)

где

Числовые ряды

Необходимый признак сходимости. Если ряд (11.1) сходится, то его общий член U_n стремится к нулю при неограниченном возрастании номера n:

(11.5)

Знакоположительные числовые ряды

Признаки сравнения рядов. Пусть даны два знакоположительных ряда:

(11.6)

(11.7)

1) если выполняется и ряд (11.7) сходится, то сходится и ряд (11.6);

2) если выполняется и ряд (11.7) расходится, то расходится и ряд (11.6).

Признак сходимости Д’Аламбера. Если для знакоположительного числового ряда (11.1) существует предел

то (11.8)

1) ряд (11.1) сходится в случае ,

2) ряд (11.1) расходится в случае

Знакопеременные числовые ряды

Знакопеременный числовой ряд (11.1) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд

(11.9)

составленный из модулей его членов.

Если знакопеременный ряд (11.1) сходится, а ряд (11.9) расходится, то ряд (11.1) называется условно сходящимся.

Признак сходимости Лейбница. Знакочередующийся числовой ряд (11.4) сходится, если выполняются два условия:

1) абсолютные величины его членов монотонно убывают, т. е.

2)

Степенные ряды

Степенным рядом называется функциональный ряд вида

(11.10)

или

(11.11)

где – определенные числа.

Радиусом сходимости ряда (11.10) называется число R такое, что при ряд сходится, а при ряд расходится. При ряд может либо сходиться, либо расходиться.

Интервал называется интервалом сходимости, для ряда (11.11) это интервал .

Степенной ряд сходится абсолютно, если сходится ряд, составленный из модулей членов данного ряда, т. е. ряд

(или ). (11.12)

Радиус сходимости ряда (11.10) и (11.11) определяется формулой

(11.13)

Рядом Фурье периодической функции с периодом 2π, определенной на отрезке [π; π], называется ряд

где (11.14)

(11.15)

Теорема Дирихле. Если 2-периодическая функция является кусочно-гладкой на , то ее ряд Фурье сходится к в каждой ее точке непрерывности и к значению в точке разрыва ( левосторонний предел в точке , правосторонний предел).