Раздел 13. Операционное исчисление

Функция f(t) называется оригиналом, если она удовлетворяет условиям:

1) при

2) f(t) – кусочно-непрерывна при причем на любом конечном отрезке оси t имеет конечное число точек разрыва I рода;

3) при где и – некоторые действительные числа.

Изображением оригинала f(t) называется функция F(p) комплексной переменной определяемая интегралом

(13.1)

Операция перехода от оригинала f(t) к изображению F(р) называется преобразованием Лапласа.

Соответствие между оригиналом f(t) и изображением F(p) записывают в виде

или

Свойства преобразования Лапласа:

1. Линейность:

где С₁, С₂ – произвольные постоянные,

2. Подобие:

где – число;

3. Смещение:

где а – любое число.

4. Запаздывание:

где – число.

5. Дифференцирование оригинала:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,

где

6. Дифференцирование изображения:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . ,

где

7. Интегрирование оригинала:

где

8. Интегрирование изображения:

где

9. Умножение изображений:

где

Оригиналы и изображения основных элементарных функций представлены в табл. 3.1.

Т а б л и ц а 3.1

Оригинал f(t)	Изображение F(p)	Оригинал f(t)	Изображение F(p)
1. 1		6.
2.		7.
3.		8.
4.		9.
5.		10.

Раздел 14. Теория вероятностей

Число всех перестановок множества из n элементов определяется формулой

(14.1)

Число всех размещений (без повторений) из n элементов по k определяется формулой

(14.2)

Число всех сочетаний из n элементов по k определяется формулой

(14.3)

Теорема. Количество различных комбинаций элементов вида (а¹, а², …, а^r), где а^l – элемент l-й группы, состоящей из n_l элементов, равно

(14.4)

Формула классической вероятности

(14.5)

где m – число благоприятных для события А исходов;

n – число всех исходов эксперимента.

Формула (14.5) используется только в опытах с равновозможными и попарно несовместными исходами.

Основные свойства вероятности:

1)

2)

3)

4)

Суммой событий А и В называется событие А + В, состоящее в осуществлении хотя бы одного из событий А и В; произведением – одновременное осуществление событий А и В.

Если где Ø – пустое множество, то А и В называются несовместными.

Событием, противоположным А, называется событие , состоящее в том, что А не происходит.

Теорема (сложения). Для любых событий А и В верна формула

(14.6)

В случае, когда А и В – несовместные события,

(14.7)

Условная вероятность события А при условии, что произошло событие В с определяется формулой

(14.8)

Теорема (умножения). Для любых событий А и В верна формула:

, (14.9)

если А и В – независимые события, то

(14.10)

Математическое ожидание случайной величины определяется формулой

, (14.11)

где значения величины ;

.

Дисперсия случайной величины определяется формулой

(14.12)

или

, (14.13)

где (14.14)

Среднее квадратическое отклонение случайной величины определяется формулой

. (14.15)