Раздел 4. Аналитическая геометрия

Вектор , перпендикулярный прямой, называется нормальным вектором прямой. Общим уравнением прямой на плоскости, с нормальным вектором и проходящей через точку , называется уравнение вида

.

Если обозначить , то общее уравнение прямой имеет вид

.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид

,

где – угловой коэффициент прямой,

угол наклона прямой к положительному направлению оси ,

величина отрезка, отсекаемого прямой на оси .

Вектор , параллельный данной прямой, называется направляющим вектором прямой. Каноническим уравнением прямой, параллельной вектору и проходящей через точку , называется уравнение вида

.

Уравнение прямой, проходящей через две точки и , имеет вид

.

Каноническое уравнение эллипса с центром в точке и полуосями а и b имеет вид

Каноническое уравнение гиперболы с центром в точке и полуосями а, b имеет вид

.

Каноническое уравнение параболы с вершиной в точке имеет вид

.

Раздел 5. Предел и непрерывность

Широко используются следующие замечательные пределы:

1) (5.1)

2) (5.2)

или

где (5.3)

Функция называется непрерывной в точке если она определена в некоторой окрестности точки и если

Раздел 6. Дифференциальное исчисление функции

одной переменной

Основные правила дифференцирования:

(6.1)

(6.2)

(6.3)

(6.4)

(6.5)

Таблица производных основных элементарных функций:

, (6.6)

в частности,

, (6.7)

в частности, (6.8)

, (6.9)

в частности, (6.10)

(6.11)

(6.12)

(6.13)

(6.14)

(6.15)

(6.16)

(6.17)

(6.18)

(6.19)

(6.20)

(6.21)

(6.22)

Правило дифференцирования сложной функции

Если т. е. то

(6.23)

Приближенное вычисление с помощью дифференциала

Если приращение Δх аргумента мало по абсолютной величине, то и верна формула:

(6.24)

Правило Лопиталя

При раскрытии неопределенности и применяется правило Лопиталя: если f и g – непрерывные функции, имеющие производные в проколотой окрестности точки х₀, причем , в указанной окрестности, (или ) и существует , то .

Аналогичное правило справедливо при условии .

Правило Лопиталя дает возможность раскрыть также неопределенности типа , преобразовав их вначале к виду или .

Неопределенность типа сводится к неопределенности типа или следующим образом:

или

Для неопределенности получаем т. е. неопределенность типа

Неопределенности типа можно свести к неопределенности предварительно прологарифмировав соответствующее выражение или воспользовавшись равенством