3. Краткие теоретические сведения
Раздел 1. Комплексные числа
Алгебраическая форма записи комплексного числа:
где х и у – действительные числа,
.
Числа вида
и
называются
сопряженными.
Если
два комплексных
числа, то арифметические операции
над ними выполняются по следующим
правилам:
(1.1)
(1.2)
(1.3)
(1.4)
Всякое комплексное число может быть представлено в тригонометрической форме
(1.5)
или в показательной форме
(1.6)
где
модуль числа z;
главное значение аргумента.
Если
то справедливы следующие формулы (в
тригонометрической форме):
(1.7)
(1.8)
(1.9)
Формула (1.9) называется формулой Муавра.
Если
то справедливы следующие формулы (в
показательной форме):
(1.10)
(1.11)
(1.12)
Для извлечения корня n-й
степени
из комплексного числа используется
формула, дающая
значений этого корня. В тригонометрической
форме она имеет вид
(1.13)
где
В показательной форме она имеет вид
(1.14)
где
Если дано уравнение
где
то решениями этого уравнения будут
числа:
(1.15)
где
Если в уравнении
,
где
– комплексные числа, то решениями этого
уравнения будут комплексные числа:
(1.16)
где
два значения
квадратного корня из
Раздел 2. Линейная алгебра
Матрицей размеров
на
называется прямоугольная таблица,
составленная из
элементов некоторого множества. Матрица,
элементами которой являются числа,
называется числовой.
Операции сложения и вычитания вводятся для матриц одинаковых размеров.
Сложение матриц
,
Умножение матриц на число
,
где
постоянная.
Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, называется квадратной.
Произведением матрицы
на матрицу
называется матрица
элементы которой
находятся по формуле
.
Определители
Понятие определителя вводится только для квадратной матрицы.
Если
,
то определителем второго порядка
называется число
.
Если
,
то определителем третьего порядка
называется число
.
Из этой формулы видно, что определитель третьего порядка можно вычислить по правилу треугольников:
.
Соединенные элементы перемножаются.
Разложение определителя по первой строке
Раздел 3. Векторная алгебра
Скалярным произведением двух
векторов
и
называется число, обозначаемое
(или
)
и равное произведению модулей данных
векторов на косинус угла между ними:
(3.1)
Свойства скалярного произведения векторов:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Если
то
(3.2)
(3.3)
(3.4)
Векторным произведением векторов
и
называется вектор, обозначаемый
(или
),
который удовлетворяет следующим трем
условиям:
1)
(3.5)
2)
3) тройка векторов
– правая.
Основные свойства векторного произведения векторов:
1)
2)
3)
4)
5)
где
площадь параллелограмма,
построенного на векторах
и
(геометрический смысл векторного
произведения);
6)
Если
то
(3.6)
Смешанным произведением векторов
называется число, обозначаемое
которое вычисляется как скалярное
произведение векторов
и
:
.
Основные свойства смешанного произведения векторов:
1)
2)
3)
где
объем параллелепипеда,
построенного на векторах
(геометрический смысл смешанного
произведения);
4) если
,
то тройка векторов правая,
если
,
то тройка векторов левая;
5)
компланарны.
Если
то
(3.7)