Раздел 9. Дифференциальные уравнения

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, их функцию и производные (или дифференциалы) этой функции.

Если неизвестная функция зависит только от одной переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным.

Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок производной, входящей в это уравнение.

Обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид

или в разрешенном относительно виде

. (*)

Решением уравнения (*) в интервале называется функция , определенная в интервале , имеющая в этом интервале непрерывную производную и обращающая уравнение (*) в тождество:

.

Уравнения вида

(9.1)

называются уравнениями с разделяющимися переменными.

Дифференциальное уравнение называется однородным, если его можно представить в виде

(9.2)

где  некоторая функция от

С помощью замены сводится к уравнению с разделяющимися переменными относительно х и новой функции

Уравнение

(9.3)

где и непрерывные на функции, называется неоднородным линейным дифференциальным уравнением (ЛДУ) первого порядка, если

Если уравнение (9.3) называется однородным линейным дифференциальным уравнением.

Неоднородное линейное дифференциальное уравнение можно решать, в частности, методами Лагранжа и Бернулли.

Метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа). Он состоит в следующем. Сначала находят общее решение соответствующего однородного уравнения , которое будет содержать произвольную константу . Затем ищут общее решение заданного неоднородного уравнения в том же виде, который имеет полученное общее решение соответствующего однородного при условии некоторая функция. Для нахождения полученное для выражение (вместе с ) подставляют в уравнение (9.3).

Метод подстановки (метод Бернулли). Заключается в следующем. С помощью подстановки , где неизвестные функции, уравнение (9.3) приводят к виду

.

В качестве функции берут любое частное решение уравнения . Тогда функция определяется из уравнения .

Получают общее решение последнего уравнения и записывают общее решение заданного уравнения в виде , где найденные функции.

Уравнение вида

(9.4)

где – постоянные числа, называется линейным дифференциальным уравнением n-го порядка с постоянными коэффициентами.

Частные решения уравнения (9.4) ищут в виде Для определения k используют уравнение

(9.5)

которое называется характеристическим.

При решении уравнения (9.5) возможны следующие случаи:

1. Все корни k₁, k₂, …, k_n характеристического уравнения (9.5) действительны и различны. Тогда каждому k_i соответствует частное решение вида Общее решение уравнения имеет вид

2. Все корни действительные и среди них имеются равные (т. е. корень некоторой кратности). В этом случае каждому действительному корню k кратности r соответствует r частных решений

Например, пусть уравнение (9.5) имеет корни k₁ = k₂ = … = = k_r = k, k_r+1, …, k_n. Тогда общее решение уравнения (9.4) записывается в виде

3. Характеристическое уравнение имеет пару простых сопряженных комплексных корней , . Общее решение уравнения имеет вид

.

4. Среди корней характеристического уравнения имеются комплексные корни некоторой кратности . Тогда каждой паре комплексных корней кратности m соответствует m пар частных решений вида

Тогда общее решение уравнения (9.4) записывается в виде