1.2. Содержание предмета

(вопросы к экзамену по высшей математике)

Раздел 1. Комплексные числа

Алгебраическая форма записи комплексного числа. Мнимая единица. Действия над комплексными числами в алгебраической форме.

Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа.

Действия над комплексными числами в тригонометрической и показательной формах. Формула Муавра.

Извлечение корня n-й степени из комплексного числа. Геометрическая интерпретация

Решение уравнений вида где и где

Литература [7, § 3.1–3.7], [12, § 6.2]

Раздел 2. Линейная алгебра

Матрицы. Виды матриц. Транспонирование. Сложение матриц и умножение матрицы на число, свойства этих операций. Элементарные преобразования матрицы. Умножение матриц. Эквивалентные матрицы. Приведение матрицы к треугольному виду.

Свойства операции умножения матриц. Коммутативные матрицы.

Определители 2-го и 3-го порядков, их свойства.

Миноры и алгебраические дополнения.

Способы вычисления определителей: правило Саррюса, теорема Лапласа, метод эффективного понижения порядка.

Системы линейных алгебраических уравнений. Формулы Крамера.

Вычисление обратной матрицы. Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы.

Ранг матрицы. Методы нахождения ранга матрицы: метод элементарных преобразований, метод окаймляющих миноров.

Теорема Кронекера-Капелли.

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений.

Литература [7, § 4.1–4.5, 4.8, 4.9], [11, § 2.3, 3.1, 3.3, 3.4]

Раздел 3. Векторная алгебра

Понятие вектора. Координаты вектора. Длина вектора.

Линейные операции над векторами в векторной форме. Проекция вектора на ось.

Линейно-зависимые и линейно-независимые системы векторов. Базис. Разложение вектора по базису. Координаты вектора в базисе.

Общая аффинная и прямоугольная декартова системы координат в пространстве. Координаты вектора.

Линейные операции над векторами в координатной форме. Длина вектора в координатах.

Скалярное произведение векторов в геометрической форме. Свойства скалярного произведения. Угол между двумя векторами и формула его косинуса. Условие ортогональности двух векторов.

Скалярное произведение векторов в координатной форме, формула косинуса угла.

Векторное произведение векторов, его свойства и геометрический смысл.

Векторное произведение векторов в координатной форме.

Смешанное произведение трех векторов в векторной и координатной формах, его свойства и геометрический смысл. Правая и левая тройки векторов.

Критерий компланарности трех векторов.

Литература [7, § 5.1–5.12], [11, § 2.1, 2.2, 2.4]

Раздел 4. Аналитическая геометрия

Прямая на плоскости: различные виды уравнений.

Плоскость в пространстве: различные виды уравнений.

Прямая в пространстве: различные виды уравнений.

Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве.

Эллипс: каноническое уравнение, характеристики, изображение.

Гипербола: каноническое уравнение, характеристики, изображение.

Парабола: каноническое уравнение, характеристики, изображение.

Канонический вид уравнений поверхностей второго порядка и их изображение. Эллипсоид. Гиперболоиды. Конус. Параболоиды. Цилиндры.

Литература [7, § 2.1–2.10, § 6.1–6.10], [11, § 2.5–2.9]