Раздел 7. Функции многих переменных
Пусть задана функция трех переменных
.
При вычислении частной производной
(в случае ее существования)
считаем константами и пользуемся
правилами дифференцирования и таблицей
производных для функции одной переменной
.
Аналогично при вычислении частных
производных
.
Если функция
имеет непрерывные частные производные,
то полный дифференциал существует и
равен
(7.1)
При вычислении частных производных
высшего порядка (в случае их существования)
частные производные предыдущего порядка
дифференцируются по каждой из переменной.
Например, для функции двух переменных
существуют 4 частные производные
2-го порядка:
;
;
;
.
Градиентом дифференцируемой функции
в точке
называется вектор, имеющий координаты
и обозначаемый символом
или
(7.2)
Раздел 8. Интегральное исчисление функции одной
переменной
Основные правила интегрирования:
(8.1)
(8.2)
(8.3)
Таблица основных неопределенных интегралов:
(8.4)
,
(8.5)
в частности
(8.6)
(8.7)
(8.8)
в частности
(8.9)
(8.10)
(8.11)
(8.12)
(8.13)
(8.14)
(8.15)
(8.16)
(8.17)
(8.18)
(8.19)
Интегрирование заменой переменной (подстановкой)
Если функция
имеет непрерывную производную, то
(8.20)
Формула интегрирования по частям
(8.21)
где
непрерывно
дифференцируемые функции.
Интеграл вида
где
рациональная
функция;
постоянные;
целые натуральные числа;
,
приводится к интегралу от рациональной
функции новой переменной
с помощью подстановки
Интеграл вида
приводится к интегралу от рациональной функции новой переменной с помощью подстановки
Интеграл вида
где рациональная функция,
приводится к интегралу от рациональной
функции новой переменной
с помощью универсальной тригонометрической
подстановки
В этом случае
Если имеет место тождество
т. е. функция является четной по
и
,
то для приведения подынтегральной
функции к рациональному виду применяют
подстановку
При этом
Если имеет место тождество
т. е. функция является нечетной по
,
то для приведения подынтегральной
функции к рациональному виду применяют
подстановку
.
Если выполняется тождество
т. е. функция является нечетной относительно
,
то применяют подстановку
.
Свойства определенного интеграла:
1)
2)
3)
4)
для любых
5) если
на
и
то
6) если
то
7) если
то
Формула Ньютона-Лейбница
Если
какая-либо
первообразная функции
то справедливо равенство
(8.22)
Формула замены переменной для определенного интеграла
(8.23)
где функция
непрерывна на отрезке
функция
непрерывно дифференцируема и монотонна
на отрезке
и сложная функция
непрерывна на
Формула интегрирования по частям для определенного
интеграла
(8.24)
где
непрерывно дифференцируемые функции
на отрезке
