4.1. Отделение корней

Отделение корней можно осуществить графическим или аналитическим способом. Для того чтобы отделить корни графически, нужно построить график функции y=f(x). Для отделения корней аналитически используем следующее утверждение: если непрерывная функция f(x) С₂ [a,b] принимает значения разных знаков на концах отрезка [a, b], т. е. f(a) f(b)<0, то внутри этого отрезка содержится, по меньшей мере, один корень уравнения f(x)=0 (рис. 4.2).

Е

Рис. 4. 2

Рис. 4. 1

сли к этому добавить, что f'(x) и f"(x) непрерывны и сохраняют определенные знаки на заданном отрезке, то можно говорить о единственном корне уравнения на этом интервале (рис.4.1).

4.2. Метод последовательных приближений (метод простой итерации)

Заменим исходное уравнение f(x)=0 равносильным уравнением x=(x). Тогда формула для вычисления последовательных приближений будет выглядеть так:

x_n+1=(x_n) ( n=0, 1, 2,…); где x₀ – начальное приближение, x₀ [a, b] .

Приведем достаточное условие сходимости итерационного процесса:

Теорема. Пусть функция (x) определена и дифференцируема на отрезке

[a, b], причем все ее значения (x) [a, b]. Тогда, если существует q такая, что

|(x)|  q< 1 для всех x [a, b],

то процесс итерации x_n+1=(x_n) ( n=0, 1, 2,…) сходится независимо от начального значения x₀ [a, b] и предельное значение = является единственным корнем уравнения x=(x) на отрезке [a, b].

Критерий завершения вычислений имеет вид: | x_n+1 - x_n |  ,

где q = max|'(x)|, при x [a,b] и  - заданная точность.

На рис. 4.3 приведена геометрическая интерпретация сходящегося (|'(x)|< 1) и расходящегося (|'(x)| > 1) итерационных процессов.

Рис. 4. 3

4.3. Метод половинного деления (метод проб, метод дихотомии)

Предположим, что в интервале [a, b] расположен один корень уравнения (4.1). Пусть на начальном шаге x₀=a, h₀= (b-a) /2; далее ищем

x_n+1=x_n+sign( f(a)) sign( f(x_n) ) h_n , h_n+1=h_n /2,

т. е. получаем новое значение x на (n+1)-й итерации (рис. 4.3).

Если выполняется одно из условий (применяют для всех методов):

| f(x_n+1) |   или | x_n-x_n+1 |  ,

где  - заданная точность вычислений, то корень уравнения f(x)=0 найден

= x_n+1 и процесс вычисления заканчивается.

Рис. 4. 4

4.4. Метод пропорционального деления (метод хорд)

Выберем неподвижным тот конец отрезка, для которого знак функции f(x) совпадает со знаком ее второй производной f"(x). Тогда последовательные приближения x_n лежат по ту сторону корня , где функция f(x) имеет знак, противоположный знаку ее второй производной f"(x).

Например, если f"(x)>0 при a  x  b, то кривая y=f(x) будет выпукла вниз.

Возможны два случая:

1) f(a)>0, тогда x₀=b (рис. 4.5) и неподвижен конец a,

x_n+1= x_n- (n=0, 1, 2,…);

2) f(a)<0, тогда x₀=a (рис. 4.6) и неподвижен конец b,

x_n+1= x_n - (n=0, 1, 2,…).

Этот метод имеет линейную сходимость, есть погрешность на (n+1) -й итерации пропорциональна погрешности на n -й итерации. В этом случае говорят, что метод первого порядка точности.

Для оценки погрешности n-го приближения корня можно воспользоваться формулой | x_n- |  или | x_n- |  |x_n - x_n-1|,

где m₁ = min | f'(x)| , M₁ =max| f’(x)| для всех x [a, b].

Рис. 4. 6

Рис. 4. 5