Интеграл в правой части (8.4) вычисляется с помощью численной квадратуры

y_i^(k) –y₀ = h A_j⁽ⁱ⁾ f(x_j, y_j^(k-1)) . (8.5)

Коэффициенты A_j⁽ⁱ⁾ системы (8.5) находятся из решения системы линейных алгебраических уравнений:

= A_j⁽ⁱ⁾ j^k-1; k=1,…n+1;i=1,…n . (8.6)

Система (8.6) получена из условия, что формула (8.5) точна для всех функций вида x, x², x³,…, xⁿ⁺¹ в точках x_i = ih, i=0,…,n.

Пусть n=2, дано три точки (x₀,x₁,x₂). Тогда матрица коэффициентов A_j⁽ⁱ⁾ равна

A= .

Для m=4 , пять точек (x₀, x₁, x₂, x₃, x₄).

A= .

Численная реализация может быть выполнена следующим образом .

Шаг 1. Исходный интервал делим на 4 части, т. е. задаем m = 4. Определяем сетку x_i=a+ih₀, i=0,1,…,4, где h₀ = (a+b)/4 - шаг исходной сетки. Вычисляем по формулам (8.5) y_i⁽ⁿ⁾, i=1,…,4 , пока не выполнится условие max <, по всем i, где  - заданная точность.

Шаг 2. Делим интервал на 8 частей, т. е. уменьшаем шаг вдвое и находим y_i на сетках:

=a+ih₁, i=1,…,4; h₁=h₀/2;

=(b+a)/2+ih₁, i=1,…,4.

Затем проверяем условие max < в узлах первой сетки (с шагом h₀). Если оно выполняется, то вычисления заканчиваем. Если не выполняется, то исходный интервал уменьшаем вдвое, т. е. a₁=a; b₁=(a+b)/2, и переходим на шаг 1, где a=a₁; b=b₁.

8.2. Метод Эйлера

Для решения задачи Коши (8.1) составляют таблицу значений y_k=y(x_k), где x_k=x₀+kh ( k=0,1,…,n), h=(b-a)/n, y(x₀)=y₀ , x₀=a, [a,b] – отрезок, на котором ищется решение. Значение y_k+1 определяется по формуле

y_k+1=y_k + h f(x_k,y_k), k=0,1,…,n -1, y(x₀)=y₀ . (8.7)

Погрешность вычислений на каждом шаге составляет

R_k=0.5h² () , где x_k   x_k+1.

Модифицированный метод Эйлера с уточнением состоит в следующем: сначала вычисляют

y⁽⁰⁾_k+1 = y_k + h f(x_k,y_k), k=0,1,…n -1,

а затем это значение уточняют по формуле

y⁽ⁱ⁾_k+1=y_k+ [f(x_k,y_k)+f(x_k+1,y^(i-1)_k+1)], где i=0,1,2,… - номер итерации. (8.8)

Итерации продолжаются до тех пор, пока в пределах требуемой точности два последовательных приближений не совпадут.

8.3. Методы Рунге-Кутта

Для решения задачи Коши (8.1) семейство методов Рунге-Кутта описывается следующим выражением:

y(x+h)=y(x)+ , (8.9)

где h – шаг сетки; число q называется порядком точности метода (8.9).

k₁=h f(x, y),

k₂=h f(x+₂ h, y+₂₁k₁),

…

k_i=h f(x+_I h, y+_i1k₁+_i2k₂+…+_ii-1k_i-1); i=1,…,q .

Здесь p_i, _i , _ik – коэффициенты.

При q = 1 имеем метод первого порядка точности:

y_i+1=y_i+k₁,

k₁=h f(x_i, y_i),

y₀=y(x₀) .

Метод второго порядка точности (при q = 2) имеет вид:

y_i+1=y_i + (k₁+ k₂),

k₁=h f(x_i, y_i),

k₂=h f(x_i+h, y_i+k₁),

y₀=y(x₀) .

Наиболее распространен на практике метод четвертого порядка точности (при q=4):

y_i+1=y_i+ (k₁+2(k₂+k₃)+k₄),

где k₁=h f(x_i, y_i),

k₂= h f(x_i+h/2, y_i+ k₁ /2),

k₃= h f(x_i+h/2, y_i+ k₂ /2),

k₄= h f(x_i+ h , y_i+ k₃) .

Для нахождения решения с заданной точностью , численная реализация методов Рунге-Кутта выполняется следующим образом: задается сетка x_i=a+ih₀, i =1,…,n; h₀=(b-a)/n, далее на каждом I -м шаге в точке x=x_i вычисляют два значения y_i⁽¹⁾ и y_i⁽²⁾:

y_i⁽¹⁾=y_i-1+ p_j(h₀)k_j(h₀,x_i-1,y_i-1),

=y_i-1+ p_j(h₁)k_j(h₁,x_i-1,y_i-1),

y_i⁽²⁾= + p_j(h₁)k_j(h₁,x_i-1, ), где h₁=h₀ /2 .

Если выполнено условие  y_i⁽¹⁾- y_i⁽²⁾ <  , где  - заданная точность, то следующее y_i+1 вычисляется c тем же шагом h₀. В противном случае полагают h₀=h₁, h₁=h₀ /2.