9.4.1. Метод матричной прогонки

Запишем разностную схему (9.14) в виде:

U_{m+1 n} - 2U_{m n} + U_{m-1 n}+ (U_{m n+1}-2U_{m n}+U_{m n-1} )=h²f(x_m,y_n), (9.15)

m=1,2,…,M-1; n=1,2,…,N-1;

U_0n=(0,y_n); U_mn=(a,y_n); n=1,2,…,N-1

U_m0=(x_m,0); U_mn=(x_m,b); m=1,2,…,M-1, где =h²/l²>0.

Введем обозначение :

U_m =(U_{m 1,} U_{m 2,…,} U_{m N-1})^T, m=1,…,M. (9.16)

Положим в формулах (9.15) n=1,2,…,N-1 и, используя (9.16), запишем систему уравнений (9.15) в векторной форме :

U_m+1+AU_m+U_m-1=f_m , m = 1,2,…, M-1 (9.17)

U₀=₀; U_M=_a ,

где A – трехдиагональная матрица порядка M-1 c диагональным преобладанием, т. к. 1+>, >0 .

A= ,

f_m = , ₀ = , _a = .

Задача (9.17) аналогична задаче в п.9.3.3, отличие состоит лишь в том, что она имеет векторную форму. Предполагаем, что между соседними значениями векторов этого решения U_m существует связь

U_k=R_kU_k+1+S_k, k=0,1,…,M-1, (9.18)

где R_k – это матрицы, S_k – векторы.

При k=0 R₀=0 U₀=₀, S₀=₀ - задано. Возьмем k=m-1 , запишем (9.18) , подставим в (9.17), затем опять преобразуем к виду (9.18). Получим соотношения для вычисления матриц и векторов

U_m = -U_m+1 (A + R_m-1 )^-1 +(f_m - S_m-1 ) (A + R_m-1)^-1 , m=1,2,…,M-1.

Вычислим матрицы R_k = - ( A + R_k-1)^-1 и векторы S_k= R_k (S_k-1-f_k), для k=1,..,M-1. Что позволит, используя данное значение вектора на границе U_M=_a , вычислить последовательно искомые значения вектора решения по формуле

U_m = R_mU_m+1 + S_m, для m=M-1,M-2,…,1 .

Задание:

1. Методом матричной прогонки найти приближенное решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в единичном квадрате с вершинами в точках A(0;0) , B(0;1), C(1;1), D(1;0) ( h=0,2).

Варианты

№	UAB	UBC	UCD	UAD
1	30y	30(1-x2)	0	0
2	20y	30сos( )	30cos( )	20x2
3	50y(1-y2)	0	0	50sin(x)
4	20y	20	20y2	50x(1-x)
5	0	50x(1-x)	50y(1-y2)	50x(1-x)
6	30sin(y)	20x	20y	30x(1-x)
7	40y2	40	40	40sin( )
8	30y2	30(1-x)	0	40x2(1-x)
9	0	50sin(x)	50y(1-y2)	0
10	20 sin(y)	30x	30y	20x(1-x)
11	30cos( )	20x(1-x)	25y(1-y2)	30(1-x2)
12	10 y2(1-y)	30sin(x)	0	15x(1-x2)
13	25y	25(1-x2)	30 (1-y)	0

Список литературы :

1. Бахвалов Н. С. Численные методы. / Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобелькова. – М.: Наука, 1987.

2. Волков Е. А. Численные методы. – М.: Наука. 1973.

3. Годунов С. К. Разностные схемы./ С. К. Годунов, С.В. Рябенький. – М.: Наука, 1973.

4. Калиткин Н. Н. Численные методы. – М.: Наука, 1978.

5. Самарский А. А. Численные методы. / А. А. Самарский, А. В. Гулин. – М.: Наука, 1989.

6. Самарский А. А. Методы решения сеточных уравнений. / А. А. Самарский, Е.С. Николаев. – М.: Наука, 1978.