- •Гоу впо «Кемеровский государственный университет»
- •Методы вычислений
- •Предисловие
- •Тема 1. Элементы теории погрешностей
- •1.1. Определения
- •1.2. Абсолютная и относительная погрешности
- •1.3. Значащие цифры и число верных знаков
- •1.4. Погрешности арифметических действий
- •1.5. Погрешность вычисления функции
- •Задания
- •Варианты
- •Тема 2. Интерполирование
- •2.1. Постановка задачи интерполирования
- •2.2. Интерполяционный многочлен Лагранжа
- •2.3. Интерполяционная формула Гаусса
- •2.4. Сплайн- интерполяция
- •2.5. Линейный сплайн
- •Таким образом, линейный сплайн имеет вид
- •2.6. Параболический сплайн
- •2.7. Кубический сплайн
- •Задания
- •Варианты функций
- •Тема 3. Численное интегрирование
- •3.1. Постановка задачи интегрирования
- •3.2. Квадратурные формулы
- •3.3. Выбор шага интегрирования
- •3.4. Квадратурная формула Гаусса
- •Тогда формула Гаусса будет иметь вид
- •Задания
- •Варианты
- •Тема 4. Решение трансцендентных (нелинейных) уравнений
- •4.1. Отделение корней
- •4.2. Метод последовательных приближений (метод простой итерации)
- •4.3. Метод половинного деления (метод проб, метод дихотомии)
- •4.4. Метод пропорционального деления (метод хорд)
- •4.5. Метод Ньютона (метод касательных)
- •4.6. Метод Ньютона модифицированный
- •4.7. Метод Чебышева
- •Задания
- •Варианты уравнений
- •Тема 5. Решение спектральной задачи
- •5.1. Метод скалярных произведений
- •5.2. Метод вращения
- •Задания
- •Варианты матриц
- •Тема 6. Решение систем линейных алгебраических уравнений
- •6.1. Обусловленность матрицы
- •6.2. Метод Гаусса
- •6.3. Метод Гаусса с выбором главного элемента
- •6.4. Нахождение определителя и обращение матрицы с помощью метода Гаусса
- •6.5. Итерационные методы (метод Якоби, метод Зейделя, метод релаксации)
- •6.6. Оптимизация скорости сходимости итерационного процесса
- •6.7. Итерационные методы вариационного типа
- •6.8. Методы сопряженных направлений
- •Задания
- •Тема 7. Решение систем нелинейных алгебраических уравнений
- •7.1. Определения
- •Интеграл в правой части (8.4) вычисляется с помощью численной квадратуры
- •8.2. Метод Эйлера
- •8.3. Методы Рунге-Кутта
- •8.4. Метод Адамса
- •8.5. Метод Милна
- •Задания
- •Варианты
- •8.6. Краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка
- •8.6.1. Интегро-интерполяционный метод
- •8.6.2. Метод прогонки
- •Задания
- •Варианты заданий
- •Тема 9. Методы решения дифференциальных уравнений в частных производных
- •9.1. Простейшие приемы построения разностных схем
- •9.2. Сходимость, аппроксимация, устойчивость разностных схем
- •9.3. Решение уравнения параболического типа
- •9.3.1. Явная разностная схема
- •9.3.2. Неявная разностная схема
- •9.3.3. Реализация метода разностной прогонки для уравнения параболического типа
- •Задание
- •Варианты
- •9.4. Решение уравнения эллиптического типа
- •9.4.1. Метод матричной прогонки
- •Задание:
- •Варианты
- •Содержание
- •Тема 7. Решение систем нелинейных алгебраических уравнений 40
- •Тема 8. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений 43
- •Тема 9. Методы решения дифференциальных уравнений в частных производных 49
Задания
С помощью метода скалярных произведений найти максимальное по модулю и минимальное по модулю собственное значение и соответствующие им собственные вектора для симметричной матрицы A с заданной точностью ε. Провести расчеты при различных начальных приближениях x(0).
С помощью метода вращения найти все собственные значения и соответствующие им собственные вектора для симметричной действительной матрицы A с заданной точностью ε.
Варианты матриц
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
11. 12.
13. 14.
15. 16.
17. 18.
19. 20.
Тест: ,
λ 1= -4,2841, x1 = (-0,597; -0,746; 1),
λ2 = 3,7621, x 2= (1; -0,492; 0,423),
λ3 = 5,522, , x 3= (-0,00858; 0,228; 1).
Тема 6. Решение систем линейных алгебраических уравнений
6.1. Обусловленность матрицы
При исследовании численных методов для решения математических задач необходимо различать свойства самой задачи и свойства вычислительного алгоритма. Для каждой математической задачи принято рассматривать вопрос о ее корректности.
Определение. Говорят, что задача поставлена корректно, если ее решение существует, единственно и непрерывно зависит от входных данных.
Рассмотрим систему
A x = f , (6.1)
где А - квадратная, неособенная матрица размерности n, и, следовательно, det(A) ≠ 0, тогда существует единственное решение системы. Чтобы убедиться в корректности задачи (6.1) необходимо еще установить непрерывную зависимость решения от входных данных. Входными данными являются правая часть f и элементы матрицы А.
Соответственно, различают устойчивость по правой части, когда возмущается только правая часть f , а матрица А остается неизменной, и коэффициентную устойчивость, когда возмущается только матрица А .
Будем считать, что решение и правая часть задачи (6.1) принадлежат линейному пространству H, состоящему из n-мерных векторов. Введем в H норму, для которой выполнено:
||x||>0, для всех х≠0 H ,
||α x||=| α| ||x||, для любого числа А и х H ,
||x+y||≤||x||+||y||, для любых x и y H .
Определение. Нормой матрицы А, подчиненной данной норме векторов, называется число , для всех х≠0 H .
Наряду с системой (6.1) рассмотрим «возмущенную» систему A xε = fδ , которая отличается от (6.1) правой частью. Насколько сильно может измениться решение х в результате изменения правой части?
Обозначим δx=x - xε,, δf=f - fδ.
Определение. Говорят, что система (6.1) устойчива по правой части, если при любых f и fδ справедлива оценка || δx||≤ M || δf ||, где M - постоянная, M >0.
Эта оценка выражает факт непрерывной зависимости решения от правой части, то есть показывает, что || δx|| стремится к нулю при || δf ||стремящемся к нулю. Наличие устойчивости очень важно при численном решении систем уравнений, так как никогда нельзя задать правую часть f точно. Погрешность δf возникает в результате округления.
Получим оценку для относительной погрешности решения . Используем неравенство ||f|| ≤ ||A|| ||x|| . Перемножим его с неравенством ||δx||≤ ||A-1|| || δf ||, получим требуемую оценку
.
Определение. Число ρ(A)= называется числом обусловленности матрицы A и характеризует степень зависимости относительной погрешности решения от относительной погрешности правой части. В случае самосопряженной матрицы A =A* это число равно
ρ(A)= ,
где λmax , λmin – максимальное и минимальное по модулю собственные значения матрицы A.
Матрицы с большим числом обусловленности называются плохо обусловленными. При численном решении систем с такими матрицами возможно сильное накопление погрешности. При небольших изменениях правой части погрешность решения может оказаться значительной.
Например, для матрицы
число обусловленности ρ(A)= , и если взять за правую часть системы вектор f= (1,0000, 1,0000)T, то получим решение x=(0,3333, 0,0000)T. Решение «возмущенной» системы с правой частью fδ = (0,9998, 1,0000)T равно xε=(5,0000, 2,0000)T.
Если взять матрицу
и за правую часть системы вектор f= (1,0000, 0)T, то получим решение . Решение «возмущенной» системы при изменении коэффициента a22 = 0,421 на 0,433 равно xε = (47,983, -86,879)T.