9.3.1. Явная разностная схема
Запишем явную разностную схему для задачи (9.7) с погрешностью O(+h2) :
Lh(1)(Uh ) = f(h), (9.8)
где
Lh(1)(Uh
)
,
и правой частью
f(h)
.
Явная
разностная схема (9.8) аппроксимирует
задачу (9.7) с погрешностью O(+h2),
устойчива при выполнении условия
и, следовательно, сходится.
9.3.2. Неявная разностная схема
Запишем неявную разностную схему для задачи (9.7) с погрешностью O(+h2) :
Lh(2)(Uh ) = f(h), (9.9)
где
Lh(2)(Uh
)
и правой частью
f(h)
Неявная разностная схема (9.9) аппроксимирует задачу (9.7) с погрешностью O(+h2), абсолютно устойчива и является сходящейся.
9.3.3. Реализация метода разностной прогонки для уравнения параболического типа
Рассмотрим задачу на примере краевой задачи (9.7). Выберем равномерную прямоугольную сетку, определим узлы по правилу:
xm=m h, m = 0,1,…,M, h = 1/M>0,
tn=n , n = 0,1,…,N, >0, N T < (N+1) .
Будем использовать неявную разностную схему (9.9), которая аппроксимирует задачу (9.7) с погрешностью O(+h2) и является абсолютно устойчивой.
Положим в (9.9) n=0, получим:
Перепишем в следующем виде, обозначив :
- (1+2)
+
=-
-
,
m=1,2,…,M-1, (9.10)
(0 m M) - искомое решение задачи на первом слое по времени.
Предположим, что между соседними значениями этого решения существует связь:
=i
+i,
i=0,1,…,M-1, (9.11)
где
i
, i
- некоторые числовые коэффициенты. При
i=0
определим 0,
0
таким образом,
чтобы выполнялось левое граничное
условие
=1().
Для чего достаточно положить 0=0,
0=1().
Возьмем i=m-1.
Значение
,
определяемое по формуле
=m-1
+m-1,
подставим
в (9.10) и преобразуем опять к виду (9.11),
получим вид прогоночных коэффициентов
m
, m:
m
=
,
m=
,
m=1,…,M-1
. (9.12)
Определение
прогоночных коэффициентов по формулам
(9.12) для m=1,…,M-1
называется
прямым ходом
метода прогонки.
По условию задачи
.
Обратный ход
метода прогонки заключается
в вычислении значений функции U1i
, для
i=M-1,M-2,…,1
по формуле
(9.11). Далее переходим на следующий слой
по времени и т. д.
Задание
Используя разностные аналоги производных, получить для своего варианта разностную схему и найти решение смешанной задачи для дифференциального уравнения параболического типа (теплопроводности).
Исследовать схему на аппроксимацию и устойчивость.
Варианты
1.
;
U(x,0)=x; U(1,t)=1+t; U(2,t)=2-t; h=0,1; T=1.
2.
;
U(x,0)=x2;
U(0,t) = t; U(1,t)=1+ t; h=0,1; T=1.
3.
;U(x,0)=x+1;
U(0,t)=1; U(1,t)=2+t2;
h=0,1; T=1.
4.
;
U(x,0)=x2;
U(0,t)=0; U(1,t)=1; h=0,1; T=1.
5.
;
U(x,0)=x+1; U(0,t)=1; U(1,t)=2+t2;
h=0,1; T=1.
6. ; U(x,0)=x2; U(0,t)= t; U(1,t)=1+t; h=0,1; T=1.
7.
;U(x,0)=x+1;
U(0,t)=1; U(1,t)=2+t2;
h=0,1; T=1.
8.
;U(x,0)=(1,1x2+1,2)
sin(
x); U(0,t)=0; U(2,t)=0; h=0,1; T=1.
9.
;
U(x,0)=x+1; U(0,t)=1; U(1,t)=2+t2;
h=0,1; T=1.
10.
;
U(x,0)=(1,3x2+1,2
)sin(x);
(0,t)=0;
(1,t)=0;
h=0,1; T=1.
9.4. Решение уравнения эллиптического типа
Задача Дирихле для уравнения Пуассона
=f(x,y) (9.13)
заключается в нахождении функции U=U(x,y), удовлетворяющей данному уравнению (9.13) внутри некоторой области G={0 < x< a, 0 < y< b}, а на границе этой области Г - заданному условию:
UГ=(M),
где - известная функция, M – точка контура Г. Считаем, что задача имеет единственное решение в области с границей Г, и это решение непрерывно в области со своими производными до четвертого порядка включительно.
Выберем прямоугольную сетку, положив:
xm=m h, m = 0,1,…,M, h = a/M>0,
yn=n l, n = 0,1,…,N, l=b/N>0.
Для аппроксимации уравнения (9.13) используем пятиточечный шаблон. Запишем разностную схему для задачи Дирихле:
Lh(Uh ) = f(h), (9.14)
где
Lh(Uh
)
и правая часть
f(h)
Разностная схема (9.14) представляет собой систему линейных алгебраических уравнений. Число уравнений этой системы равно (M-1)х(N-1), столько же неизвестных Um n, m=1,…,M-1, n=1,…,N-1. Разностная схема устойчива и аппроксимирует данную задачу с погрешностью порядка О(h2). Для решения подобных систем линейных алгебраических уравнений, определяемых формулой (9.14), разработан метод матричной прогонки.