8.6.2. Метод прогонки

Схему (8.11) можно представить в виде системы линейных алгебраических уравнений относительно (n+1) - неизвестных y_i (i=0, 1,...,n) с трехдиагональной матрицей коэффициентов:

A_i y_i-1 - C_i y_i + B_i y_i+1 = -F_i (i=1,…,N-1).

Такую систему можно решить методом скалярной прогонки (см. п. 2.7.) с условием устойчивости |C_i | ≥ |A_i | + |B_i | .

Задания

1. Аналитически показать, что при k(x)=const, q(x)=const, u(x) - многочлен второй степени, разностная схема (8.11) дает точное решение.

2. Показать, что приведенные формулы численного интегрирования для коэффициентов дают 2 -й порядок точности:

d_i=q(x_i)+o(h²), _i=f(x_i)+o(h²), _i=k(x_i)+o(h²).

3. Выполнить программную реализацию интегро-интерполяционного метода и на ее основе проверить п.1.

4. Построить собственный пример (8.11) на классе функций: k(x), q(x) - линейные. Сравнить численное решение с аналитическим.

5. В схеме (8.11) использовать следующие коэффициенты:

k(x)=ax+b, q(x)=cx+e, u(x)=rx²+px+g;

k(x)=ax+b, q(x)=const, u(x)=e^-lx (рассмотреть два случая:0<l<1 и l>1) .

6. Составить разностную схему для следующей краевой задачи:

p(x) u (x)+q(x) u (x)+r(x) u(x) = f(x),

₁ u(a)+₁ u(a)=₁,

₂ u(b)+₂ u(b)=₂,

a<x<b.

7. Для данной краевой задачи найти аналитическое решение методом Галеркина или методом наименьших квадратов и сравнить полученное решение с найденным приближенным решением.

8. Записать разностную схему для одного из вариантов краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения и решить методом прогонки.

Варианты заданий

1. +2xy=0,8 2.

3. +2y=x+1 4.

5. -xy=x² 6.

7. =x+0,4 8.

9. +2y=1,5 10.

11. -2y=0.6 12.

13. - xy=1,4 14.

Тема 9. Методы решения дифференциальных уравнений в частных производных

9.1. Простейшие приемы построения разностных схем

Дифференциальные уравнения в частных производных имеют широкое приложение в математической физике, гидродинамике, акустике и т. д. Многие задачи механики сплошной среды сводятся к решению дифференциальных уравнений в частных производных. В большинстве случаев получить решение таких уравнений в явном виде не представляется возможным, поэтому широко применяются приближенные методы. Построение различных схем методом конечных разностей в случае уравнений в частных производных зависит от типа уравнений и вида граничных условий.

Пусть G – некоторая область изменения независимых переменных x, y , ограниченная контуром Г. Говорят, что в области G задано линейное дифференциальное уравнение второго порядка для функции U(x,y), если для любой точки из области G имеет место соотношение:

AU_xx+2BU_xy+CU_yy+DU_x+EU_y+F=0. (9.1)

Коэффициенты уравнения, вообще говоря, зависят от x, y. Если A B C 0, а D 0 и E 0, то уравнение (9.1) имеет первый порядок и называется уравнением переноса. Обозначим Q= B²+ AC, Q= Q(x, y). Уравнение называется эллиптическим, если Q<0; параболическим, если Q>0, и гиперболическим - если Q=0 для всех (x,y) из области G.

Например, уравнение Пуассона является уравнением эллиптического типа (Q<0), действительно, так как A=1, B=0, C=1, то Q= -1.

Уравнение теплопроводности является уравнением параболического типа (Q=0), действительно, так как A=1, B=0, C=0, то Q=0.

Волновое уравнение является уравнением гиперболического типа (Q>0), действительно, так как A=1, B=0, C=-1, то Q=1.