6.2.2. Производная по дуге пространственной кривой

Пусть дуга К пространственной кривой задана уравнениями в параметрической форме

,

причём в качестве параметра s взята длина этой дуги К, отсчитываемая от одного из концов дуги (при s = 0). Фактическое отыскание длины дуги по заданному уравнению линии мы отложим до главы 5. Кроме того, будем рассматривать лишь такие дуги, у которых производные не только существуют, но и непрерывны в сегменте . Пусть и обозначим координаты соответствующей точки P₀ на дуге К через

P₀

Дадим приращение Δs и тогда получим на этой дуге К ещё одну точку P с координатами

P

Пусть функция задана в точке P₀(x₀,y₀,z₀) и в некоторой трёхмерной окрестности этой точки, содержащей внутри себя отрезок дуги кривой К между точками P₀ и P. Кроме того функция дифференцируема в точке P₀(x₀,y₀,z₀). При переходе от точки P₀ к точке P функция получит приращение . Разделим эту разность на длину дуги, т.е. составим отношение

. (4.47)

Определение. Производной в точке P₀ от функции вдоль дуги К называется предел отношения (4.47) при условии, что и точка P не покидает дугу К, если этот предел существует и конечен. Производная по дуге обозначается

Так как функция дифференцируема в точке P₀ то,

,

причём, как и прежде, и, кроме того, .

Далее,

. (4.48)

Отметим, что

(4.49)

и сверх этого

(4.50)

(хорда не длиннее, стягиваемой ею дуги ). Из (4.50) следует, что если , то и , а потому

. (4.51)

Теперь из (4.48), (4.49) и (4.51) следует существование производной по дуге и справедливость равенства

. (4.52)

Уравнения касательной к кривой К в точке P₀ имеют вид

,

где обозначают углы, образованные касательной с положительными направлениями координатных осей Ox, Oy, Oz. При этом выполнены равенства

.

Значит формулу (4.52) можно переписать так

. (4.53)

Рассмотрим в точке P₀ направление , тогда по доказанной теореме, в этой точке существует производная по направлению , и она также вычисляется по правой части формулы (4.53). Отсюда заключаем о справедливости равенства

.

Последнее равенство означает, что производную в точке P₀ функции по дуге К можно заменить на производную в точке P₀ функции по направлению касательной, проведенной в точке P₀ к дуге К.

6.2.3. Кривизна пространственной кривой

Рассмотрим кривую в пространстве заданную векторным уравнением, в котором переменным параметром является длина дуги s этой кривой, отсчитываемая от некоторой начальной точки О (рис.34).

(4.54)

Рис. 34

Составим производную этого вектора по дуге s: .

Как было установлено, вектор направлен по касательной в точке M к годографу вектора . Кроме того, отметим, что есть единичный вектор. Действительно, (рис.34) , при . Отсюда и следует, что . Обозначим этот единичный вектор касательной через :

. (4.55)

Определение. Вектором кривизны кривой называется производная единичного вектора касательной по дуге s этой кривой, т.е.

(4.56)

Длина вектора есть кривизна кривой в точке M(s), а обратная величина кривизны ρ называется радиусом кривизны.

Докажем, что векторы и взаимно перпендикулярны. Так как единичный вектор, то из (4.55) заключаем о справедливости тождества

Дифференцирование этого тождества после сокращения на множитель 2 даёт новое тождество

Отсюда с учетом (4.55) и (4.56), получаем , а это означает, что векторы и перпендикулярны. Направление вектора назовём направлением главной нормали к кривой в точке M (рис.34). Обозначим через единичный вектор главной нормали. Отсюда следует, что .

Обозначим через единичный вектор бинормали, определяя его равенством

Из этого определения следует, что тройка векторов , , , связанная с точкой М кривой, образует взаимно перпендикулярную систему векторов, так называемый подвижный триэдр, связанный с рассматриваемой кривой (рис.35).

Рис. 35

Плоскость, проходящая через единичные векторы и , называется соприкасающейся плоскостью.

Плоскость, которая проходит через векторы , и называется нормальной плоскостью.

Наконец спрямляющей плоскостью называется плоскость, проходящая через векторы , и .

Если кривая плоская, то векторы и лежат в одной плоскости с кривой и тогда вектор бинормали перпендикулярен этой плоскости.

Мерой отклонения пространственной кривой от плоской формы служит вектор . Этот вектор называется вектором кручения.

Из формулы (4.58), используя (4.44), получаем

а с учетом (4.56) последнее равенство принимает вид .

Из параллельности векторов и следует, что . Значит

Отсюда, согласно определению векторного произведения следует, что вектор перпендикулярен вектору . Не составляет труда доказать также, что вектор перпендикулярен и к вектору бинормали . Доказываем аналогично, как и перпендикулярность векторов и .

Итак, вектор перпендикулярен к векторам и , а потому он направлен вдоль вектора главной нормали и пропорционален вектору :

Скалярный множитель называется, кручением кривой в точке М. Обратная величина называется радиусом кручения или радиусом второй кривизны.