6.3. Скалярное поле. Градиент

Пусть числовая функция задана в трёхмерной области D, тогда этим самым в области D задано числовое (скалярное) поле значений этой функции. Для приложений имеют значение физические скалярные поля. Рассмотрим примеры физических скалярных полей.

1. Если есть температура в каждой точке P(x,y,z) области D, тогда в области D задано скалярное поле температур.

2. Считая гидростатическим давлением в каждой точке P(x,y,z) внутри объёма D, занимаемого жидкостью в поле силы тяжести, получаем скалярное поле гидростатических давлений.

3. Если в некоторой точке пространства M(x₀,y₀,z₀) помещён точечный заряд, то в произвольной точке пространства P(x,y,z) этот заряд создаёт потенциал U вычисляемый по формуле

.

Тем самым в бесконечном пространстве задано скалярное поле потенциалов.

В дальнейшем будем предполагать, что функция всюду в D дифференцируема.

Определение 1. Поверхностью уровня скалярного поля называется такая поверхность в области D, на которой скалярная функция принимает постоянное значение С, т.е. .

Давая постоянной С различные значения, получаем бесчисленное множество различных поверхностей уровня. Заметим, что две любые различные поверхности уровня не имеют общих точек, т.е. через любую точку скалярного поля проходит только одна поверхность уровня. Действительно, в противном случае, скалярная функция поля в этой общей точке принимала бы несколько значений, что противоречит определению функции.

Рассмотрим форму поверхностей уровня для различных примеров физических скалярных полей.

В случае скалярного поля гидростатических давлений (в поле силы тяжести) поверхностями уровня являются горизонтальные плоскости, располагающиеся на различных глубинах от уровня свободной поверхности жидкости.

Поверхностями уровня скалярного поля потенциалов создаваемого электрическим точечным зарядом суть концентрические сферы, центр которых совпадает с точкой, где помещён заряд.

Выберем в скалярном поле произвольную точку P(x,y,z) и проведем через неё поверхность уровня (единственную!). Проведём к этой поверхности уровня в точке P касательную плоскость (предполагая её существование). Произвольно выберем в касательной плоскости два взаимно перпендикулярных направления t и τ точку пересечения, которых поместим в точке P. Наконец проведём в точке P нормаль n к поверхности уровня и направим её положительное направление в ту сторону, в которую функция поля возрастает. Выбор положительных направлений на осях t и τ безразличен.

Обозначим через (рис.36) кривую, получающуюся в результате пересечения плоскости nP с поверхностью уровня и через s кривую, по которой пересекаются плоскость nPt и поверхность уровня.

Рис. 36

Зададим также в точке P произвольное направление , образующее с осями t,  и n углы, соответственно равные и запишем производную функции по заданному направлению .

. (4.57)

В формуле (4.57) выразим производные по направлениям t и  через производные по дугам s и 

(4.58)

На поверхности уровня функция сохраняет постоянное значение, а потому тогда из (4.58) следует, что

После этого (4.57) принимает такой вид

(4.59)

Заметим, что вследствие произведенного выбора положительного направления на оси n имеем

Из формулы (4.59) следует важный факт – скалярное поле возрастает в точке P наиболее быстро в направлении нормали n к поверхности уровня и величина этого возрастания составляет . Действительно, если направление совпадает с направлением n, то и поэтому правая, a значит и левая часть (4.59) достигает своего максимального значения в точке P, которое равно .

После этих предварительных рассуждений введём определение градиента скалярного поля.

Определение 2. Градиентом скалярного поля в точке P(x,y,z), задаваемого скалярной функцией называется вектор, направленный по нормали n к поверхности уровня, проведенный из точки P. Этот вектор направлен в положительную сторону нормали n, имеет длину равную и обозначается

или .

Из этого определения следует, что вектор не зависит от выбора координатных осей Ox, Oy, Oz.

Обозначим через проекцию вектора на направление . Тогда равенству (4.59) можно придать следующий вид

. (4.60)

Значит, производная функции в точке P по заданному направлению , есть проекция вектора на направление .

Теперь определим координаты вектора относительно декартовой прямоугольной системы координат xyz. Для этого, направляя в точке P сначала параллельно оси Ox, затем оси Oy и, наконец, оси Oz, из (4.60) c учетом (4.39), получаем

Из этих трёх равенств находим разложение вектора по ортонормированному базису .

. (4.61)

Из (4.61) можно вычислить длину вектора через координаты этого вектора

.

В заключение отметим, что при вычислении производной по заданному направлению , направление в точке P(x,y,z), задавалось тремя углами . Если же направление задавать единичным вектором , выходящим из точки P(x,y,z), то производная по направлению , выраженная формулой (4.39) представляет собой скалярное произведение вектора и вектора с координатами ( ).

= · = .

Пример 1. Вычислить для скалярного поля

в точке P₀(1,2,3).

По формуле (4.61) получаем

и отсюда .

Следовательно, вектор направлен в точке P₀ в положительную сторону оси Oz. В точке P₀ поле быстрее всего возрастает вдоль прямой параллельной оси Oz вверх и скорость возрастания равна 4.

Пример 2. Обозначим через вектор, имеющий начало в точке O(0,0,0), а конец в точке P(x,y,z). Доказать, что для скалярного поля

справедливо равенство .

Последовательно имеем

.