83

Глава 2 числовые функции многих действительных переменных

§1. Область определения функции; точечные множества n-мерного арифметического пространства

Числовая функция f от n действительных переменных точке арифметического пространства Rⁿ ставит в соответствие число y из R: y = f(M) = f(x₁, x₂,...,x_n) (книга 1, гл.3, §3). Таким образом, аргументом указанной функции служит точка арифметического пространства Rⁿ, а ее областью определения D является соответственно множество точек пространства Rⁿ. Остановимся более подробно на свойствах таких множеств.

Рассмотрение этих множеств значительно облегчается их геометрической интерпретацией (книга 1, гл.3, §1). Эта геометрическая интерпретация, как было уже сказано, настолько удобна, что множество точек арифметического пространства Rⁿ, отвечающее тем или иным геометрическим образам, называют по имени этих образов: параллелепипед, куб, шар и др. Именно этих геометрических представлений мы и будем придерживаться.

Пусть задано произвольное множество D точек n-мерного пространства Rⁿ . Назовем точку M внутренней точкой множества D, если она принадлежит множеству D вместе с некоторой ее окрестностью.

Определение 1. Множество, целиком состоящее из внутренних точек, называется открытым множеством (открытой областью).

Например, открытый прямоугольный параллелепипед, открытый шар (книга 1, гл.3, §1) – служат примерами открытых множеств.

Обобщим теперь понятие точки сгущения (гл.1, §1, п.1.3) на случай множества D в n – мерном пространстве.

Определение 2. Точка М₀, называется точкой сгущения (предельной точкой) множества D, если в каждой ее окрестности содержится хоть одна точка множества D, отличная от М₀.

Внутренние точки множества всегда являются предельными точками этого множества. Следовательно, все точки открытого множества есть точки сгущения множества. Точки же сгущения для открытого множества, не принадлежащие ему, называются пограничными точками этого множества. Пограничные точки в их совокупности образуют границу множества.

Нетрудно видеть, что для открытого параллелепипеда пограничными будут точки M(x₁, x₂,…,x_n), для которых a_i  x_i  b_i , i = 1, 2,…, n, причем хоть в одном случае имеет место именно равенство.

Точно также для открытого шара радиуса r пограничными будут точки M, для которых в точности .

Открытое множество вместе с его границей называется замкнутым множеством.

Таким образом, замкнутый прямоугольный параллелепипед и замкнутый шар дают примеры замкнутых множеств.

Установим теперь, что замкнутому множеству принадлежат уже все его точки сгущения и, следовательно, имеем

Определение 4. Точечное множество, содержащее все свои предельные точки, называют замкнутым.

Введем еще одно определение.

Определение 5. Множество D называется ограниченным, если оно целиком содержится внутри некоторого шара конечного радиуса (либо внутри прямоугольного параллелепипеда). В противном случае множество D называется неограниченным.

Ограниченное множество в n-мерном пространстве (открытое или замкнутое) есть, в некотором смысле, аналог конечного числового промежутка (соответственно, открытого или замкнутого). Однако при переходе к n-мерным (n   образам картина несколько усложняется. Простым и однотипным числовым промежуткам, границей которых служат всего лишь две точки, здесь противопоставляется огромное многообразие множеств со сложными границами.