§2. Способы задания функции
Основные способы задания функции многих переменных те же, что и функции одной переменной, – табличный, аналитический и графический.
В рассматриваемых примерах 1 – 3 функции заданы аналитически.
Примеры:
1.
;
2.
;
3.
.
Те замечания,
которые были сделаны в гл.1, §2, п.2.3 по
поводу аналитического задания функций
одной переменной, могут быть повторены
и здесь. Так, определим естественную
область, на которой может быть задана
функция
.
Очевидно, областью определения этой
функции являются все точки М(х1,х2),
образующие замкнутый круг радиуса 2 с
центром в начале координат, т.е. точки
координаты которых удовлетворяют
неравенству
.
Аналогично, как и
для функции одной переменной, функция
многих переменных может быть также
задана неявно при помощи уравнения
F (x1, x2,…,xn , y) = 0.
Для этого необходимо, чтобы при подстановке функции y = f(x1,x2,…,xn) в это уравнение равенство F(x1, x2 ,…, xn, f(x1,x2,…,xn)) имело бы место тождественно относительно x1, x2,…,xn .
Например,
уравнение
задает неявно две функции двух переменных
и
с областью определения
(точки, образующие замкнутый эллипс с
полуосями a и
b).
Графически можно изобразить лишь функции двух переменных. Как известно из аналитической геометрии, функция z = f(x,y) (или y = f(x1, x2)) определяет некоторую поверхность в ориентированном при помощи системы координат x, y, z пространстве. Проекцией этой поверхности на координатную плоскость xOy является область D определения этой функции.
Например, графическим
изображением функции
является
параболоид
вращения.
Область определения этой функции есть
координатная плоскость xOy.
Для исследования функций двух переменных часто используется метод сечений, состоящий в том, что поверхность z = f(x,y) пересекают плоскостями x = x0 и y = y0. Рассматривают графики функций z = f(x0,y) или z = f(x,y0) одной переменной и по графикам этих функций определяют график функции двух переменных.
Можно фиксировать не текущие координаты x или y, а саму функцию. При этом получим функцию одной переменной, заданную неявно уравнением
f(x, y) = c.
Определение 1. Геометрическое место точек M(x,y) плоскости, в которых функция принимает одно и то же значение, называется линией уровня. Уравнение линии уровня записывают в виде f(x,y) = с.
Строя линии уровня для различных значений z = c, можно получить полное представление о графике функции двух переменных.
Пример. Найти линии уровня и построить график функции
,
где
и
.
Линии уровня z
= c найдем
из уравнения
,
где c >
0.
Преобразуем уравнение семейства линий уровня
.
Из последнего
уравнения видим, что линиями уровня
данной функции являются эллипсы с
полуосями
и
(книга 3, рис.3.12).
Метод сечений может быть использован и для функции трех переменных u = f(x,y,z). Если зафиксировать u = c, то получим неявную функцию двух переменных f(x,y,z) = с.
Определение 2. Поверхностью уровня функции u = f(x,y,z) называется геометрическое место точек пространства, в которых функция принимает одно и то же значение. Уравнение поверхности уровня имеет вид f(x,y,z) = с, где с – постоянная.