4.2. Основные свойства непрерывных функций нескольких переменных

Основные свойства непрерывных функций, а также их доказательства в основном аналогичны как для функций одной переменной, так и для функций многих переменных. Поэтому мы ограничимся лишь перечислением этих свойств.

1. Арифметические операции над непрерывными функциями.

Теорема 1. Пусть функции f(M) и g(M) непрерывны в точке M₀. Тогда функции f(M)  g(M), f(M) g(M) и непрерывны в точке М₀ (частное при условии g(M)  0).

2. Непрерывность сложной функции.

Теорема 2. Если функции _i(L) (i = 1,2,…,n) все непрерывны в точке L₀ из R^k, а функция f(M) непрерывна в соответствующей точке М₀ с координатами , то и сложная функция будет непрерывна в точке L₀ .

3. Устойчивость знака непрерывной функции.

Теорема 3. Если функция f(M) непрерывна в точке М₀ и f(М₀)  0, то существует такая  - окрестность точки М₀, в пределах которой функция не обращается в ноль и имеет знак совпадающий со знаком f(М₀).

4. Прохождение непрерывной функции через любое промежуточное значение.

Теорема 4 (вторая теорема Коши). Если функция f(M) непрерывна в связной области D (открытой или замкнутой) и принимает различные значения в точках М₁ и М₂, то каково бы ни было число β, заключенное между значениями f(M₁) и f(M₂) существует хотя бы одна такая точка М₃, лежащая внутри D, что f(M₃) = β.

Следствие (первая теорема Коши). Если значения f(M₁) и f(M₂) разных знаков, то внутри D необходимо найдется точка М₃, в которой функция обращается в нуль: f(M₃) = 0.

Введем понятие связной области.

Определение 1. Множество D называется связным, если две любые его точки можно соединить «непрерывной кривой», все точки которой принадлежат этому множеству.

5. Ограниченность функции, непрерывной на замкнутом ограниченном множестве.

Теорема 5 (первая теорема Вейерштрасса). Если функция f(M) непрерывна на замкнутом ограниченном множестве D, то она ограничена на этом множестве.

6. Достижение функцией, непрерывной на замкнутом ограниченном множестве своих наибольших и наименьших значений.

Теорема 6 (вторая теорема Вейерштрасса). Если функция f(M) непрерывна на замкнутом ограниченном множестве D, то она достигает на этом множестве своих наименьшего и наибольшего значений, т.е. β  f(M)  .

Числа β и  называются наименьшим и наибольшим значениями функциями. При этом в области D найдется, по крайней мере, одна точка M₁D, в которой функция f(M) принимает наименьшее значение f(M₁) = β и, по крайней мере, одна точка M₂D, в которой функция принимает наибольшее значение f(M₂) = .

7. Понятие равномерной непрерывности функции нескольких переменных.

Определение 2. Функция f(M), непрерывная на множестве D, называется равномерно непрерывной на этом множестве D, если для любого числа    можно указать такое число _  0, зависящее только от  , что для любых двух точек М₁ и М₂ множества D, удовлетворяющих условию d(М₁М₂) < _ , выполняется неравенство | f (M₂ ) – f (M₁ )| < .

Имеет место следующая теорема.

Теорема 7. Непрерывная на замкнутом ограниченном множестве D функция равномерно непрерывна на этом множестве.