§4. Дифференцирование сложных функций многих переменных. Инвариантность формы полного дифференциала

Если все аргументы функции многих переменных являются в свою очередь функциями одного переменного t: , то в таком случае z есть сложная функция также одного переменного t

и потому возникает вопрос, при каких условиях, налагаемых на функции , существует обыкновенная производная . Эти условия содержатся в ниже следующей теореме. Для простоты записей рассмотрен случай, когда n = 2.

Теорема. Пусть: 1) для функций

(4.24)

существуют при t = t₀ производные , 2) функция f(x,y) дифференцируема в точке Р₀(х₀,у₀), где , тогда для сложной функции существует в точке t = t₀ производная и справедливо равенство

. (4.25)

Доказательство. Дадим t = t₀ приращение Δt, тогда на основании (4.24), переменные x, y также получают приращение

Согласно условию 1) теоремы существуют пределы

(4.26)

При этих условиях функция z = f(x,y) также получит приращение

и в силу предложенной дифференцируемости этой функции в точке P₀, получаем

.

В последнем равенстве заменяем

(4.27)

и затем равенство разделим на Δt, тогда

. (4.28)

Но из предложенной дифференцируемости функций (4.24) в точке t = t₀ следует, что в этой точке они непрерывны, т.е. Поэтому из (4.27) следует, что , и отсюда заключаем, что

Из изложенного следует, что при Δt 0 существует предел в правой части (4.28), а тогда существует и на основании (4.26), (4.28) справедливо равенство или, что то же самое .

Теорема доказана.

Таким же способом докажем теорему для случая , где

.

Здесь имеем

. (4.29)

Не менее важным является случай, когда все аргументы суть функции от многих независимых переменных

В этом случае z есть сложная функция от р независимых переменных

.

Возникает вопрос о существовании частных производных .

При нахождение переменным является аргумент t₁, а все остальные аргументы считаются постоянными, тогда применима формула (4.29) и в результате находим, что и аналогично

Из формулы (4.29), умножая обе части равенства на dt, находим, что

. (4.30)

Следовательно, полный дифференциал функции , когда аргументы суть функции от независимой переменной t, вычисляется по такой же формуле, когда являются независимыми переменными. Это свойство полного дифференциала называется инвариантностью формы полного дифференциала.

Оно имеет место и в том случае, когда аргументы являются функциями от многих независимых переменных . При этом нужно иметь в виду следующее различие. В случае когда – независимые переменные тогда в формуле (4.30) dx₁, dx₂,…, dx_n нужно рассматривать как произвольные приращения аргументов . Если же суть функции от независимых переменных , то для этого случая dx₁, dx₂,…, dx_n являются полными дифференциалами

Инвариантность формы полного дифференциала функции многих переменных влечет за собой справедливость нижеследующих формул полного дифференцирования. Полагая, что функции

(4.31)

суть дифференцируемые функции, имеем

(где c – константа)

и, кроме того .

В написанных формулах du и dv обозначают полные дифференциалы функций u и v (4.31). Остальные формулы полного дифференцирования здесь не приведены во избежание ненужного повторения формул, когда u есть функция одного переменного х.

Формулы полного дифференцирования позволяют находить полные дифференциалы функций многих переменных непосредственно, без того, чтобы предварительно находить частные производные.

Пример. Найти полный дифференциал функции

Комбинированным применением приведенных выше формул полного дифференцирования последовательно находим

Заметим, что коэффициент при dx в полученном выражении для dz равен

,

а коэффициент при dy равен