11.2 Достаточные условия экстремума функции двух переменных

Теорема. Пусть:

1) в точке P₀(x₀,y₀) и в некоторой окрестности её (например, в круге D с центром в точке P₀ и радиусом R) функция непрерывна и имеет непрерывные частные производные первого и второго порядков;

2) точка P₀(x₀,y₀) является стационарной для функции , т.е.

. (4.123)

Обозначим тогда, если

, то функция имеет в точке P₀ экстремум,

причём минимум, если и максимум, если ;

, то функция в точке P₀(x₀,y₀) экстремума

не имеет;

, то вопросы о существовании в точке P₀(x₀,y₀)

экстремума функции требует дополнительного исследования.

Доказательство сводится к исследованию знака разности . Полагая в формуле Тейлора (4.102) n = 2, получим

причём и . Но в силу (4.123) имеем

Заменим в правой части , и тогда

. (4.124)

Непрерывность частных производных второго порядка в точке P₀(x₀,y₀) означает, что

(4.125)

причём суть бесконечно малые при

. (4.126)

В результате подстановки (4.125) в (4.124), имеем

. (4.127)

Вместо переменных и введём переменные и , полагая

(4.128)

Для того чтобы точка P(x,y) не вышла из области D, считаем, что

Подставляя (4.128) в (4.127), находим

4.129)

В соответствии с условием, доказательство теоремы разбивается на три части.

. Сначала предположим, что . В этом случае и подавно , а это означает, что числа , и имеют одинаковые знаки. Так как , то имеет место, следующее тождество

. (4.130)

В (4.130) выражение внутри квадратных скобок при любых положительно и не равно нулю. В самом деле, слагаемое только при и при , но при этих значениях первое слагаемое ; если же при первое слагаемое , то отсюда следует, что (значит и ) и потому второе слагаемое внутри квадратной скобки (4.130) не равно нулю и положительно. Отсюда следует, что при любых значениях выражение (4.130) представляет собой непрерывную функцию и имеет знак одинаковый со знаком .

По второй теореме Вейерштрасса о наименьшем и наибольшем значении (гл.1, §8, п.8.9) непрерывная функция достигает своего наименьшего положительного значения и потому при любых справедливо неравенство

. (4.131)

Предельные равенства (4.126) означают, что найдётся достаточно малое число , что при выполняются все три неравенства

Поэтому при всех

. (4.132)

Далее, используем простое арифметическое правило, согласно которому, знак суммы двух слагаемых действительных чисел совпадает со знаком того слагаемого, у которого абсолютная величина больше. C помощью этого правила и неравенств (4.131) и (4.132) заключаем, что знак выражения внутри квадратной скобки формулы (4.129) совпадает со знаком , а так как знак совпадает со знаком , то при из (4.129) следует, что

знак = знаку

всюду внутри круга с центром в точке P₀ и радиусом . Но это означает, что в точке P₀ функция имеет экстремум, причём минимум, если и максимум, если .

. Теперь пусть . Рассмотрим сначала случай когда . Опять представим в виде

.

При имеем . Затем выберем значение так, чтобы . Из этого равенства находим, что и потому . Значит . Отсюда, имея в виду неравенство , получаем, что знак противоположен знаку .

Обозначим и найдём такое , что при всех т.е. внутри круга K с центром в точке P₀ и радиусом выполнены неравенства Тогда при любых и произвольных значениях и, в частности, при = 0 и выполняется неравенство

.

Следовательно из (4.129) получаем, что знак разности внутри круга К всюду вдоль радиуса с = 0 одинаков со знаком а вдоль радиуса с противоположен знаку . Значит можно заключить, что в круге К и в любом круге меньшего радиуса разность знака не сохраняет, а это означает, что функция в стационарной точке P₀(x₀,y₀) экстремума не имеет.

Теперь предположим, что и . Поэтому должно быть не равным нулю, .

Тогда (4.129) принимает вид

и в этом случае

. (4.133)

Так как , то можно указать такое достаточно малое , чтобы для всех , удовлетворяющих неравенству выполнялось неравенство .

При таких значениях знак одинаков со знаком . Положим , , тогда , а потому из (4.133) заключаем, что

знак знаку знаку .

Если же , , то и, следовательно,

знак знаку – знаку .

Рассуждая, как и прежде, обозначим и затем найдём достаточно малое число , что при справедливы неравенства

Тогда при любых и при выполнено неравенство

.

Значит внутри круга K₂ с центром в точке P₀ и радиусом на радиусе с

знак знаку ,

а на радиусе с

знак – знаку .

Из изложенного следует, что разность в сколь угодно малой окрестности стационарной точки P₀(x₀,y₀) не сохраняет знака, а потому в этой точке функция экстремума не имеет.

. Предположим, наконец, что

. (4.134)

Если , то равенство (4.120) принимает вид и соответственно этому (4.129) можно представить следующим образом:

.

Пусть где определяется равенством

Рассмотрим радиус с . Всюду вдоль этого радиуса

знак знаку .

По недостаточности сведений о бесконечно малых нет оснований, делать какие либо заключения о знаке . Поэтому вопрос об экстремуме функции в стационарной точке P₀(x₀,y₀) остаётся невыясненным.

Если же , то из (4.134) следует что и , а потому

.

Рассмотрим радиус с . Всюду на этом радиусе знак совпадает со знаком , который неопределен и может быть любым. Итак, во всех случаях, когда выполнено равенство (4.134), вопрос о существовании экстремума функции в стационарной точке P₀(x₀,y₀) остаётся открытым и требует дополнительного исследования. Теорема доказана.

Пример. Исследовать на экстремум функцию .

Находим частные производные первого и второго порядков

Для нахождения всех стационарных точек функции приравниваем частные производные первого порядка нулю

Решая эту систему, получаем три стационарные точки

Исследование стационарной точки . В этом случае имеем . Значит и, кроме того , а потому в точке P₁ функция имеет минимум.

Исследование стационарной точки проводится точно также, и получаем, что в точке P₂ функция имеет минимум.

Исследование стационарной точки . В этом случае . И потому . Значит, доказанная теорема не позволяет решить вопрос о существовании экстремума у функции в точке P₃(0,0). Поэтому решим этот вопрос, исследуя знак разности другим способом. Так как , то

Из этого равенства заключаем, что на прямой y = x, за исключением точки О(0,0), . Пусть теперь y = 0 (ось Oх), тогда и для , . Поэтому в произвольно малом круге с центром в точке P₃(0,0) разность меняет свой знак, а это означает, что в стационарной точке P₃(0,0) рассмотренная функция экстремума не имеет.