6.2. Исследование пространственных кривых
Уравнения вида
(4.40)
устанавливающие зависимость текущих координат точки М от некоторого параметра t определяют линию в геометрическом пространстве (см. книга 3, гл.1, §3). Подобные уравнения называют параметрическими: они дают параметрическое представление линии в геометрическом пространстве.
В приложениях
предпочитают уравнение пространственной
кривой задавать в векторной форме. В
этом случае уравнения (4.40) рассматривают
как уравнения, устанавливающие зависимость
текущих координат по ортонормированному
базису
радиус-вектора
точки М
от некоторого параметра t.
6.2.1. Векторное уравнение пространственной кривой
В
прямоугольной системе координат (рис.32)
построим радиус-вектор
,
начало которого находится в точке
О(0,0,0),
а конец в точке M(x,
y,
z),
тогда
. (4.41)
Пусть
точка M
описывает кривую, уравнения которой
имеют вид (4.40). Подставляя (4.40) в (4.41),
получим векторное уравнение пространственной
кривой, представляющего собой
вектор-функцию
скалярного аргумента
t:
. (4.42)
Линия,
которую описывает конечная точка M
этого переменного вектора
,
называется годографом
вектор-функции (4.42).
Рис. 32
Понятие предела, непрерывности и производной числовой функции действительного переменного можно распространить и на случай вектор-функции скалярного аргумента t, задающей пространственную кривую.
Пусть
есть постоянный по величине и по
направлению вектор. Другими словами,
предполагаем, что a,
b,
c
суть постоянные числа.
Предельное
равенство
означает, что справедливы следующие
три скалярных равенства
,
,
.
Если
,
,
,
то эти три предельных равенства выражают
непрерывность функций
в точке t
=
t0.
В таком случае вектор-функция (4.42) и
соответствующая ей пространственная
кривая называются непрерывными в точке
t
=
t0
и имеет место равенство
.
Свойства пределов вектор-функций, выражаются следующими равенствами:
(с
– постоянное число);
Установим понятие производной вектор-функции .
Пусть
кривая L
(рис.33) есть годограф этой вектор-функции,
и точка M
соответствует значению параметра
равному t.
Дадим t
приращение Δt,
тогда точка M
переместится по годографу и займет на
нем положение M1
соответствующее новому значению
параметра t
+ Δt.
Новое значение вектор-функции изображается
вектором
.
Приращение вектор-функции изображается
вектором
.
(поставить
стрелки и точки)
Рис. 33
Рассмотрим
отношение
,
которое представляет собой вектор,
направленный вдоль секущей MM1.
Определение.
Предел отношения
,
при условии, что Δt → 0,
называется производной
вектор-функции
в точке t,
если этот предел существует, конечен и
не зависит от способа стремления Δt
к нулю и он обозначается
.
Производная
представляет собой вектор, направленный
по касательной MT
к годографу L.
Действительно, отношение
,
как отмечено выше, есть вектор, направленный
по секущей MM1.
Если Δt → 0,
то точка M1
стремится по годографу L
к точке M.
При этом секущая
MM1,
поворачиваясь вокруг точки M,
стремится к своему предельному положению,
т.е. к касательной
MT.
Отсюда следует, что производная
направлена по касательной
MT,
причём, в ту сторону, в которую параметр
t
возрастает.
Рассмотрим правило вычисления производной вектор-функции , заданной в координатной форме (4.42). Давая t приращение Δt, находим
.
Вычитая отсюда равенство (4.42), получаем
. (4.43)
Разделим (4.43) на Δt
и далее, переходя в последнем равенстве к пределу при Δt → 0, имеем
.
Последовательное дифференцирование здесь даёт
и так далее.
Отсюда
заключаем, что дифференцирование
вектор-функции, заданной в координатной
форме (4.42) сводится к дифференцированию
скалярных функций
.
Основные правила дифференцирования следующие.
Здесь
F(t)
– скалярная функция. Для двух же
вектор-функций
и
имеем
(4.44)
Все эти формулы доказываются одинаково просто. Остановимся на доказательстве последней формулы (4.44). Запишем вектор-функции и в координатной форме
и продифференцируем их
(4.45)
(4.46)
Затем в координатной форме записываем векторное произведение векторов и
Теперь, принимая во внимание равенства (4.45) и (4.46) находим производную векторного произведения
