§5. Теорема эйлера для однородных функций

Понятие однородной функции находит полезные применения в теории дифференциальных уравнений, в теоретической механике, в некоторых разделах геометрии.

Определение. Функция , заданная в n-мерной области D, называется однородной функцией в этой области, если при умножении каждого аргумента x₁,x₂,…,x_n на любое число t сама функция умножается на t^m, другими словами в каждой точке области D выполняется тождество

;

число m называется показателем однородности функции.

Примеры:1. Проверим, что функция

является однородной функцией с показателем однородности равным числу 3. Увеличивая все аргументы в произвольно взятой точке P(x, y, z) в t раз, имеем

.

Итак , а потому функция является однородной с показателем однородности 3, всюду в трехмерном пространстве, так как точка P(x, y, z) выбиралась произвольно.

2. Докажем, что функция является однородной в области D, определяемой неравенствами x > 0, y > 0 (первый квадрант плоскости xOy).

Возьмем в области D произвольную точку P(x, y). Последовательно находим

.

Итак и отсюда можно заключить, что функция в области D является однородной с показателем однородности .

Перечислим простейшие свойства однородных функций, вытекающие непосредственно из определения этого понятия. Пусть функции и однородны в n-мерной области D. Это означает, что в каждой точке области D выполнены тождества

,

.

Тогда: 1) сумма или разность однородных функций также есть однородная функция в D, если их показатели однородности равны ; 2) произведение однородных функций есть однородная функция в D и её показатель однородности равен ; 3) частное от деления однородных функций есть однородная функция во всех точках D, в которых знаменатель не равен нулю, причем показатель однородности равен . Доказательства этих трех простейших свойств очевидны, а потому опускаются.

Менее очевидным является свойство однородных функций, содержащееся в нижеследующей теореме.

Теорема Эйлера. Пусть функция : 1) дифференцируема в n-мерной области D, 2) однородна в этой области, т.е. в каждой точке выполнено тождество

, (4.32)

тогда всюду в области D справедливо равенство

. (4.33)

Доказательство. Пусть любая точка, взятая из области D. По предположению в этой точке выполнено тождество (4.32). Следовательно, выполнено равенство

(4.34)

тождественно относительно t. Дифференцируя обе части тождества (4.34) по переменной t, получаем также тождество

(4.35)

Производная в левой части (4.35) может быть найдена по теореме о дифференцировании сложной функции многих переменных (гл.4, §4). В результате получаем

.

Полагая здесь t = 1, находим

.

Но является произвольной точкой из D, а потому тождество (4.33) доказано.

Тождество (4.33) позволяет по заданным восстановить (если ) однородную функцию f(P). Поэтому тождество (4.33) можно рассматривать, как своеобразную формулу интегрирования для однородных функций.

§ 6. Приложения дифференциального исчисления функций многих переменных