1.2. Геометрическое значение частных производных функции двух переменных

Пусть функция z = f(x,y) задана в некоторой области D плоскости xОy и непрерывна в этой области. Геометрическим изображением этой функциональной зависимости является поверхность S в пространстве xyz, причем область D есть проекция S на плоскость xOy.

Выясним, в чем состоит геометрическое значение частных производных функции z = f(x,y) в точке P₀(x₀,y₀), взятой внутри области D.

Восстановим из точки P₀ перпендикуляр к плоскости xOy до пересечения его с поверхностью S в точке M₀(x₀,y₀,z₀) и через эту точку проведем касательную плоскость Т к поверхности S (рис.28,а).

Рис. 28

Будем сначала устанавливать геометрическое значение . Для этого проведем плоскость (рис.28,б). Эта плоскость в пересечение с поверхностью S дает линию АВ, определяемую в пространстве двумя уравнениями , а с касательной плоскостью Т – прямую M₀T, которая является касательной к линии АВ в точке M₀. Обозначим через угол, образованный этой касательной с положительным направлением оси Oх. Следовательно, интересующая нас часть рис.28,б находится в секущей плоскости , и она изображена отдельно на рис.29. Поскольку здесь дело сводится к функции одной переменной, то, вспоминая геометрическое значение производной, получаем равенство .

Рис. 29

Таким образом: геометрическое значение частной производной есть тангенс угла между положительным направлениям оси Ох и касательной в точке M₀ к кривой, полученной в результате пересечения поверхности z = f(x,y) с плоскостью .

Для установления геометрического значения проводим плоскость x = x₀, пересекающую поверхность S и касательную плоскость Т (рис.28,в). Затем аналогичными рассуждениями приходим к заключению, что геометрическое значение частной производной есть тангенс угла между положительным направлением оси Оу и касательной в точке M₀ к кривой, полученной в результате пересечения поверхности z = f(x,y) с плоскостью x = x₀.

§2. Дифференцируемые функции многих переменных. Полный дифференциал

Для функции одной переменной, существование производной обеспечивало непрерывность этой функции. Свойства функции многих переменных в этом отношении резко отличны. Именно, как легко показать, если для функции многих переменных существуют частные производные по всем ее аргументам, то отсюда еще не следует, что такая функция является непрерывной.

Непрерывность функции многих переменных есть следствие другого очень важного свойства этих функций – свойства дифференцируемости. Свойство дифференцируемости функции многих переменных упрощает исследование и других свойств этих функций.

2.1. Дифференцируемые функции многих переменных и их свойства

Пусть функция задана в n – мерной области D и пусть внутренняя точка из D. Дадим координатам точки P приращения, соответственно равные . В результате этого переходим от точки P к точке   x_n) и функция получает полное приращение, определяемое равенством или, что то же самое:

.

При этих условиях вводим в рассмотрение следующие определения.

Определение 1. Функция называется дифференцируемой

в точке , если ее полное приращение может быть представлено в виде , причем: 1) величины не зависят от , 2)  есть расстояние между точками и , т.е. , 3) справедливо предельное равенство .

В равносильной форме определению дифференцируемой функции можно придать такой вид.

Определение 2. Функция называется дифференцируемой в точке , если ее полное приращение можно представить в следующем виде , причем:

1) величины не зависят от , 2) справедливы предельные равенства . Здесь – расстояние между точками и .

Теорема 1. Если функция дифференцируема в точке , то в точке P эта функция непрерывна.

Доказательство. Дадим координатам точки P приращения соответственно и тогда полное приращение функции можно на основании предположенной дифференцируемости этой функции в точке P, представить в виде

.

Отсюда, применяя теоремы о пределе суммы и пределе произведения, получаем

= .

Значит , а это и означает, что функция непрерывна в точке .

Пример. Проверим, является ли функция дифференцируемой в произвольно взятой точке P(x,y). Для этого, прежде всего, нужно составить полное приращение Δz функции в точке P(x,y). В нашем случае

.

Раскрывая в правой части скобки, будем группировать слагаемые таким образом, чтобы собрать вместе все те слагаемые, которые имеют общий множитель Δx в первой степени и не зависят от Δy. В отдельную группу соберем те слагаемые, которые содержат множителем Δy в первой степени и не зависят от Δx. Все остальные слагаемые отнесем к третьей и четвертой группе. В результате получим

,

причем здесь

Теперь обозначая , окончательно имеем

.

Здесь величины A, B не зависят ни от Δx ни от Δy, а

, где .

Таким образом, по определению 2 рассматривая функция дифференцируема в точке P(x,y). Но точка P(x,y) выбиралась в плоскости хOу произвольно, а потому заданная функция дифференцируема всюду в плоскости хOу.

В заключение отметим, что Является ли это совпадение случайным? Ответ на это дан в следующей теореме.

Теорема 2. Если функция дифференцируема в точке P(x,y), т.е., если

где ,

то в точке P существуют и справедливы равенства

.

Доказательство. Из дифференцируемости функции f(x,y) в точке P следует, что .

Пусть в этом равенстве , тогда . Деление на Δx, дает

.

При Δx 0 величина ε₀ также стремится к нулю, а потому правая часть последнего равенства имеет предел равный A, а тогда существует, при Δx 0, предел и в левой части, и при этом . Но предел в левой части есть частная производная по x, т.е. .

Точно также докажем, что существует и справедливо равенство . Теорема доказана.

Доказательство теоремы для случая любого числа аргументов ничем существенным не отличается от рассмотренного случая двух аргументов.

Из доказанной теоремы следует, что полное приращение функции дифференцируемой в точке P(x,y) можно представить в следующих двух равносильных формах: либо либо

, (4.6)

причем здесь и справедливы предельные равенства

.