Упражнения

1. Найти частные производные следующих функций:

а) , б) , в) , г) , д)

2. Найти полные дифференциалы следующих функций:

а) , б) .

3. Заменяя полное приращение функции ее полным дифференциалом вычислить: а) , б) 0,996(1,005)²(1,994)³.

4. В нефтеналивном судне один из его танков имеет форму прямоугольного параллелепипеда. При измерении ребер этого параллелепипеда получены следующие результаты, а = 6 м ± 0,02 м, в = 7 м ± 0,02 м, h = 10 м ± 0,03 м. Найти абсолютную погрешность D и относительную погрешность δ при вычислении объема такого танка.

5. Проверить теорему Эйлера об однородных функциях на примерах:

а) , б) .

6. Составить уравнение касательной плоскости и уравнения нормали к поверхности в точке M₀(1,1,5)

7. Пользуясь формулами полного дифференцирования найти полные дифференциалы следующих функций: а) , б)

8. Скалярное поле температур задано функцией

Найти в точке P₀(1,–1,–1) направление и величину максимальной скорости возрастания температуры.

9. Доказать формулы:

а) (с – постоянное число),

б) ,

в) .

10.Найти все частные производные второго порядка для функций:

а) , б) , в) .

11. Найти если и .

12. Доказать, что если , то .

13. Найти производные функций , заданных неявно:

а) , б) .

14. Функции заданы неявно уравнениями:

а) . Найти , если y (1) = 1.

б) . Найти , если .

15. Исследовать на экстремум функцию

(при ).

16. Определить размеры ребер a, b, h танка, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда, который при данной полной поверхности S имеет наибольший объем.

17. На плоскости xOy расположена система n материальных точек, массы которых m₁, m₂, …, m_n, а координаты, соответственно, . Определить координаты точки P(x,y) так, чтобы момент инерции этой системы точек относительно точки P был бы наименьшим.

18. Найти условный экстремум функций:

а) , если . б) , если .