11.3.2. Метод неопределенных множителей Лагранжа

Преобразуем условие (4.139) в другую равносильную форму, в которой содержались бы только произвольные приращения dx и dy независимых переменных х и у, а полные дифференциалы dz и du отсутствовали.

Из (4.136) находим, что полные дифференциалы левых частей равны нулю; в частности это имеет место и в точке P₀, т.е.

Умножим эти равенства на пока произвольные, но постоянные множители (множители Лагранжа) и полученные таким образом равенства сложим с равенством (4.139). В результате получаем новую равносильную форму необходимого условия существования условного экстремума

(4.140)

Выберем неопределенные, но постоянные множители и так, чтобы были равны нулю множители в левой части (4.140) при dz и du

. (4.141)

Тогда (4.140) принимает вид

.

Но так как dx и dy суть произвольные приращения x и y, то полагая , , а затем , , находим

. (4.142)

Системы равенств (4.141) и (4.142) выражают необходимые условия экстремума функции (4.135) в точке P₀. Из шести уравнений систем (4.141), (4.142) и (4.136) определяем шесть неизвестных x₀, y₀, z₀, u₀, и . Таким образом находим точку .

Для непосредственного получения систем уравнений (4.141) и (4.142) можно рекомендовать следующее правило: составляем вспомогательную функцию, представляющую собой сумму исходной функции (4.135) и линейной комбинации левых частей уравнений связи (4.136): Аргументами функции суть переменные x, y, z, u. Рассматривая все аргументы функции , как независимые переменные, составляем необходимые условия экстремума в следующей форме но,

Приравнивая эти выражения к нулю, получим систему из четырех уравнений

,

,

,

.

Эти уравнения совпадают с уравнениями систем (4.141) и (4.142).

Аналогичные рассуждения позволяют установить необходимые условия для существования условного экстремума и для функции с n + m переменными при наличии m уравнений связи, где m любое натуральное число. Для этого случая вспомогательная функция имеет следующий вид

.

Применим изложенную теорию к решению задачи сформулированной в начале этого раздела.

В этой задаче вспомогательная функция имеет вид

.

Находим частные производные , и приравниваем их нулю

или немного иначе

(4.143)

(4.144)

. (4.145)

Перемножая эти равенства, получим , отсюда заключаем, что . Значит

(4.146)

(второе решение отбрасываем, так как x, y, z, положительны). Деля равенство (4.146) последовательно на (4.143), (4.144), (4.145), найдём

Значит x = y = z, а тогда из уравнения связи имеем

Для исследуемой функции получилась одна стационарная точка . Из геометрических соображений можно заключить, что максимум V должен существовать, и поскольку имеется единственная стационарная точка, то в этой точке достигается максимум объёма параллелепипеда, и, кроме того, параллелепипед, имеющий максимальный объём есть куб со стороной равной .

Эту задачу можно было бы решить и другим способом. Из уравнения связи найдём и подставим в функцию . Тогда

.

Далее, задача сводится к исследованию на экстремум функции от двух независимых переменных. Здесь исследование доводится до конца при помощи достаточного условия экстремума функции двух переменных.