11.3. Условный экстремум.

Этот раздел начнём с постановки следующей задачи.

Задача. Из проволоки, длинной , нужно изготовить каркас прямоугольного параллелепипеда, имеющего наибольший объём.

Если рёбра прямоугольного параллелепипеда обозначить через x, y, z, а объём параллелепипеда через V, тогда имеем .

Теперь требуется найти такие значения аргументов x, y, z, чтобы этот объём V был наибольшим, при дополнительном условии, накладываемом на значения аргументов, а именно общая длина всех рёбер параллелепипеда равна , т.е. .

Рассмотренная задача является характерной задачей на условный экстремум, когда переменные у функции, которая исследуется на экстремум, связаны между собой дополнительными соотношениями, называемыми также уравнениями связи, и тем самым у функции не все аргументы являются независимыми переменными. Решение этой задачи завершим в конце раздела.

В приведенной задаче данную функцию нужно исследовать на условный экстремум при одном дополнительном условии, накладываемом на значения аргумента функции. В других задачах подобного рода таких дополнительных условий, т.е. уравнений связи может быть два, три или больше.

Например, рассмотрим задачу, в которой нужно исследовать на условный экстремум функцию

(4.135)

при двух дополнительных условиях, налагаемых на аргументы функции и потому у функции (4.135) не все аргументы x, y, z, u, являются независимыми переменными. Эти дополнительные условия, задаются в виде двух уравнений, связывающих между собой аргументы x, y, z, u. Перенося все члены этих уравнений связи в левую сторону, запишем их в следующем виде:

(4.136)

Ниже приводится понятие условного экстремума для рассматриваемого случая.

Определение. Функция , координаты которой удовлетворяют двум уравнениям связи (4.136) имеет в точке условный экстремум, если можно указать достаточно малое число > 0, что для всех точек , лежащих в - окрестности точки , т.е. при , разность сохраняет знак, причём если то в точке P₀ функция (4.135) имеет условный минимум, если же то в точке P₀ функция (4.135) имеет условный максимум.

Аналогично можно было бы определить понятие условного экстремума и для функции при наличии m уравнений связи, где m любое натуральное число.

Ниже установлены необходимые условия для существования условного экстремума.

11.3.1. Необходимые условия для существования условного экстремума

Предполагаем, что уравнения связи (4.136) такие, что переменные z и u можно выразить в некоторой окрестности точки , как непрерывные и дифференцируемые функции х и у

(4.137)

Причём в точке

(4.138)

Подставим (4.137) в функцию (4.135) и тогда эта функция превращается в сложную функцию от двух независимых переменных х и у: .

Следовательно, после выполнения такой подстановки задача сводится к исследованию на экстремум сложной функции двух независимых переменных х и у. В этом случае необходимые условия экстремума в точке , как установлено, имеют вид

или в равносильной форме

Таким образом, мы получаем необходимое условие для существования в точке условного экстремума для функции (4.135) в следующей форме , или в развёрнутой форме, имея в виду инвариантность формы первого полного дифференциала,

. (4.139)

В выражении (4.139) произвольными приращениями являются только dx и dy.Что же касается dz и du,то они являются полными дифференциалами функций, определяемых равенствами (4.137) которые получены в результате решения системы уравнений (4.136). Однако в действительности решение системы уравнений (4.136) в общем случае представляет трудную, а иногда невыполнимую, задачу, поэтому ниже представлен способ составления необходимых условий экстремума, в котором не нужно предварительно решать систему (4.136).