10.4. Теорема о дифференцировании неявной числовой функции.

Если, сохраняя все условия предыдущей теоремы, сверх того предположить, что в области D существует и непрерывная частная производная , то функция, неявно определяемая уравнением дифференцируема в интервале и при этом ,

причём здесь .

Доказательство. Пусть x произвольное число из интервала . Дадим ему приращение Δx, тогда на основании (4.112) y также получит приращение, которое обозначим через Δy. Для этих двух пар чисел (x,y) и (x + Δx, y + Δy) выполняются равенства и

Вычитание этих равенств даёт

. (4.113)

В этой теореме и предположены непрерывными в области D, а тогда по следствию из доказанной ранее теоремы 2 (гл.4, §2, п.2.1, формула (4.6)) функция F(x,y) дифференцируема в каждой точке D. Отсюда имеем

,

причём

. (4.114)

Из (4.113) и (4.114) получаем . Разделив на Δx, решим полученное равенство относительно и тогда

. (4.115)

Пусть теперь , тогда из доказанной непрерывности неявной функции , а потому Отсюда имеем

Далее, с помощью теоремы о пределе дроби можно заключить о существовании предела при для правой части (4.115). Значит, существует предел и в левой части при , т.е., существует производная от неявной функции и справедлива формула.

, где .

Теорема доказана.

§ 11. Экстремум функции многих переменных

В этом разделе ограничимся рассмотрением дифференцируемых функций многих переменных.

11.1. Определения. Необходимые условия существования экстремума.

Определение. Функция , заданная в п-мерной области D, имеет во внутренней точке этой области экстремум, если можно указать достаточно малое число так чтобы для всех точек удовлетворяющих неравенству разность сохраняет один и тот же знак.

В частности, если , то в точке P₀ функция имеет минимум.

Если же , то в точке P₀ функция имеет максимум.

Для случая функции двух независимых переменных

(4.116)

можно дать геометрическое истолкование понятию минимумa и максимума.

Если функция (4.116) имеет в точке P₀(x₀,y₀) минимум, то это геометрически означает, что поверхность, заданная уравнением (4.116) имеет в точке P₀ впадину (рис.42,а). Построим вокруг точки P₀ круг достаточно малого радиуса и пусть P произвольная точка в этом круге (P P₀). Тогда имеем, что , а потому для всякой точки P внутри такого круга выполнено неравенство .

Предположим, что функция (4.116) имеет в точке P₀(x₀,y₀) максимум. Геометрически это означает, что поверхность, заданная уравнением (4.116) имеет в точке P₀ вершину (рис.42,б). Тогда построим круг с центром в точке P₀ и радиусом равным достаточно малому числу > 0. Если теперь взять любую точку P внутри этого круга (P P₀), то имеем или, что то же самое .

Переходим к установлению необходимых условий экстремума.

Рис. 42,а Рис. 42,б

Теорема. Если в точке дифференцируемая функция независимых переменных имеет экстремум, то для этого необходимо, чтобы все частные производные первого порядка этой функции были бы в точке равны нулю

. (4.117)

Доказательство. Из определения, так как функция имеет в точке экстремум, можно указать достаточно малое число , чтобы для всех точек , удовлетворяющих неравенству

(4.118)

(это означает, что точка P лежит внутри п-мерного шара с центром в точке P₀ и с радиусом , причём P P₀) разность сохраняет один и тот же знак.

Выберем точку P, так, чтобы она отличалась от точки Р₀ лишь одной координатой, например , причём , тогда и условие (4.118) принимает вид ,

а разность при этом должна сохранять один и тот же знак. Но это означает, что функция от одной переменной x₁ имеет в точке экстремум и потому её производная в этой точке должна равняться нулю .

Аналогично доказываются и остальные равенств (4.117). Теорема доказана.

Из доказанной теоремы следует, что для нахождения тех точек, в которых функция имеет экстремум нужно решить систему п уравнений

(4.119)

Те точки п-мерного пространства , координаты которых удовлетворяют системе уравнений (4.119) называются стационарными точками функции . Из изложенного следует, что те точки п-мерного пространства, в которых функция имеет экстремум, следует искать среди стационарных точек этой функции.

Однако из приведенного ниже примера следует, что не всякая стационарная точка есть точка экстремума.

Пример. Исследуем функцию

. (4.120)

Для нахождения стационарных точек функции (4.120) найдем частные производные и приравняем их нулю

Отсюда находим единственную стационарную точку O(0,0).

Теперь проверим, что в любой сколь угодно малой окрестности точки O(0,0) разность не сохраняет знак. В самом деле, так как , то . Исследуем знаки этой разности на координатных осях Oх и Oу. На оси Oх полагаем , а и тогда . Если же положить , а (ось Oу) то .

Поэтому, окружив точку O(0,0) произвольно малым кругом с центром в точке O, отметим, что внутри этого круга разность не сохраняет знак. Значит в стационарной точке O(0,0) функция (4.120) экстремума не имеет.

Таким образом, равенства нулю всех частных производных функции в точке являются лишь необходимыми условиями экстремума в точке . Если аргументы функции суть независимые переменные, то необходимые условия экстремума в точке можно записать в двух равносильных формах. Либо, как отмечалось прежде (4.117), либо одним равенством

. (4.121)

Действительно, пусть выполнены равенства (4.117). Тогда из равенства и условий (4.117) заключаем, что

.

Пусть теперь, наоборот, выполнено равенство (4.121). Это означает, что

(4.122)

причём здесь суть произвольные приращения, соответственно, . Поэтому, положив в (4.122) , получаем .

Аналогично докажем, что,

Теперь перейдем к рассмотрению условий, которые позволяют установить, в каких стационарных точках функция двух переменных обладает экстремумом.