10.2. Условия существования неявной числовой функции с геометрической точки зрения

Наряду с уравнением (4.103) рассмотрим поверхность, определяемую уравнением

(4.106)

Если эта поверхность не имеет ни одной общей точки с плоскостью xOy ( ), то уравнение (4.103) нельзя удовлетворить никакой парой действительных чисел x и y, а потому это уравнение не устанавливает функциональной зависимости между x и y. Неявная числовая функция при этих условиях не существует. Именно этот случай имеет место в примере 1. Здесь уравнение поверхности имеет вид и отображается в виде параболоида вращения вокруг оси Oz, с вершиной в точке , (рис.37). Такая поверхность не имеет ни одной общей точки с плоскостью xOy. Последнее обстоятельство служит геометрическим объяснением тому, что неявная числовая функция не существует.

Для существования неявной числовой функции, определяемой уравнением (4.103) недостаточно также, если поверхность (4.106) имеет с плоскостью xOy только одну общую точку P₀(x₀,y₀), т.е. и плоскость xOy является касательной к поверхности (4.106). Обратимся к примеру 2. Здесь поверхность (4.106) задана уравнением и представляет собой также параболоид вращения вокруг оси Oz, который в точке O(0,0,0) касается плоскости xOy (рис.38). Значит поверхность (4.106) в этом примере имеет одну общую точку с плоскостью xOy, но все же неявная числовая функция не существует, так как в этой общей точке поверхность лишь касается плоскости xOy.

Рис. 37 Рис. 38

Таким образом, для того чтобы уравнение (4.103) устанавливало функциональную зависимость между х и у, поверхность (4.106) должна пересекаться плоскостью хОу по некоторой кривой L (рис.39). В этом случае кривая L и является геометрическим изображением неявной числовой функции, определяемой уравнением (4.103).

Рис. 39

Уравнение касательной плоскости (4.21) к поверхности (4.106) в точке P₀(x₀,y₀) имеет вид и окончательно в силу условия ,

. (4.107)

Поэтому, если нужно, чтобы плоскость хОу, уравнение которой z = 0 была секущей плоскостью к поверхности (4.106), то достаточно предположить, что в правой части уравнения (4.107) по меньшей мере, одно из двух чисел не равно нулю.

Итак, из геометрических соображений можно заключить, что если, например, выполняются условия , то, уравнение (4.103) определит y, как неявную числовую функцию от действительного переменного x.

В точной форме эти условия содержатся в приводимой ниже теореме.

10.3. Теорема о существовании неявной числовой функции.

Пусть в прямоугольной области D плоскости xOy заданной неравенствами 1) функция непрерывна, 2) существует и непрерывна, 3) в центре прямоугольника D, т.е. в точке P₀(x₀,y₀), , а .

При этих условиях можно указать такое число , что в интервале уравнение определяет y, как единственную и непрерывную функцию переменной x,

. (4.108)

Эта функция при x = x₀ принимает значение y = y₀, (график функции проходит через точку P₀) и, кроме того, подстановка (4.108) в уравнение (4.103) превращает его на интервале в тождество .

Доказательство. Не ограничивая общности доказательства можно вместо условия предположить, что

. (4.109)

В самом деле, если бы , то вместо уравнения (4.103) следовало бы рассмотреть равносильное уравнение , для которого условие (4.109) было бы выполнено.

Далее будем предполагать, что для уравнения (4.103) условие (4.109) выполняется. Частная производная непрерывна в прямоугольнике D, а значит и в точке P₀(x₀,y₀) и, кроме того, выполнено условие (4.109), а тогда по теореме о сохранении знака, непрерывная функция сохраняет свой знак (плюс) в некоторой окрестности D₀ точки P₀. Окрестности D₀ всегда можно придать форму прямоугольника с центром в точке P₀ и со сторонами, параллельными координатным осям Ox и Oy. Другими словами, можно указать такие достаточно малые числа h₀ и k₀: что всюду в прямоугольнике D₀, состоящего из точек с координатами и лежащего внутри прямоугольника D (рис.40), выполняется неравенство .

Рис. 40

В следующей части доказательства везде рассматриваются лишь точки прямоугольника D₀

Пусть x* – любое фиксированное значение, взятое из интервала , тогда, если при этом переменная y лежит в интервале : , то функция от одного переменного y возрастает в интервале , так как производная этой функции . Но согласно одному из условий теоремы в середине этого сегмента, т.е. в точке у = у₀ выполняется, равенство . Следовательно, положив x* = х₀ для у₀, в соответствие с непрерывностью функции (гл.2, §4, п.4.2) можно указать такую окрестность : , что на левом конце этой окрестности у = у₁ = у₀ – функция отрицательна а на правом конце, при у = у₂ = у₀+ эта функция положительна .

В частности можно считать сколь угодно малым положительным числом (это замечание будет использовано в последней части доказательства при установлении свойства непрерывности неявной функции).

Далее, применяя теорему о сохранении знака к функции , непрерывной, согласно одному из условий, в прямоугольнике D₀, а значит и в точках P₁(x₀,y₁) и P₂(x₀,y₂), заключаем, что для x можно указать, во-первых: достаточно малое число , что всюду в интервале выполняется неравенство

(4.110)

и, во-вторых: достаточно малое число , что всюду в интервале выполняется неравенство

. (4.111)

Оба неравенства (4.110) и (4.111) будут выполнены одновременно, если

, где .

Теперь рассмотрим только точки прямоугольника R (рис.41), определяемого неравенствами

Из изложенного следует, что прямоугольник R лежит внутри прямоугольника D₀. Зафиксируем в интервале произвольную точку х = x* и рассмотрим функцию от одной переменной y.

Функция возрастает в сегменте и на концах этого сегмента, в силу неравенств (4.110) и (4.111), имеет разные знаки.

.

Таким образом, функция удовлетворяет в сегменте всем условиям первой теоремы Коши (гл.1, §8, п.8.9) и потому в интервале найдётся такое значение y = y*, что , а поскольку функция в монотонно возрастает, то такое значение y = y* только одно. Точка х = x* есть произвольная точка в интервале , следовательно, уравнение имеет единственное решение для всех х = x*, взятых из , а это в согласии с определением означает, что уравнение (4.103) неявно определяет у, как функцию от x в интервале и, причем, только одну.

Рис. 41

Обозначим эту неявную функцию

. (4.112)

Тогда из изложенного следует, что и, кроме того, справедливость тождества .

Теперь для завершения доказательства теоремы остаётся установить непрерывность функции (4.112), в интервале .

Сначала докажем непрерывность этой функции в точке х = x₀, т.е. в центре интервала . Для этого напомним, что число определялось с помощью чисел , выбор которых зависит от и то отсюда заключаем, что выбор зависит от . Заметим и как это отмечалось прежде, что можно считать сколь угодно малым положительным числом.

Значит, для всякого числа можно указать такое число , зависящее от , что для всех x, удовлетворяющих неравенствам для функции (4.112) выполняются неравенства . Или в равносильной форме для всех x, удовлетворяющих неравенству , выполнено неравенство . Используя же равенство можно записать .

Но всё это означает, что неявная функция, определяемая уравнением (4.103) в точке х = x₀ непрерывна.

До сих пор нами была использована непрерывность частной производной только в одной точке P₀(x₀,y₀). Но по второму условию теоремы, непрерывность предполагается всюду в области D. Такое предположение не является чрезмерным, так как при доказательстве непрерывности неявной функции (4.112) в других точках интервала , нужно воспользоваться непрерывностью в точках, не совпадающих с точкой P₀(x₀,y₀).

Возьмём теперь любую другую точку х = x* (x* x₀) из интервала . Этому значению х = x* на основе функциональной зависимости (4.112), отвечает значение y = y* из интервала , причём и так как точка P(x*, y*) принадлежит прямоугольнику R, то выполнено также неравенство .

Добавим к этим двум условиям ещё два, выполнение которых обеспечено условиями теоремы, а именно непрерывность функции и частной производной в точке P(x*, y*) и в некоторой окрестности этой точки (например, в прямоугольнике с центром в точке P(x*, y*) и сторонами параллельными координатным осям). Отсюда видно, что все условия теоремы выполнены в прямоугольнике с центром в точке P(x*, y*). Поэтому, повторяя проведенные ранее рассуждения для случая, когда центр прямоугольника лежит в точке P₀(x₀,y₀), докажем непрерывность неявной функции , определяемой уравнением (4.103) в точке х = x*, произвольно взятой из . Теорема доказана.