§ 9. Формула тейлора для функции многих переменных

Пусть в точке P₀(a,b) и в некоторой окрестности D этой точки для функции существуют непрерывные частные производные до порядка n включительно.

Рассмотрим отрезок прямой линии

,

который соединяет точки P₀(a,b) и P₁(a+h,b+k). Считаем h и k достаточно малыми, чтобы весь отрезок прямой P₀P₁ лежал внутри области D.

Подставляя значения x и y в функцию , получим сложную функцию от . Для краткости обозначим её через :

. (4.98)

Для этой функции, по теореме о дифференцировании сложной функции, существуют в [0,1] последовательные непрерывные производные до порядка n включительно и при справедлива формула Маклорена (гл.3, § 7, формула (3.53))

.

Для дальнейшего достаточно положить в этой формуле t = 1

. (4.99)

Из (4.98) находим, полагая там t = 0 и t = 1

. (4.100)

Поэтому остаётся найти и подставить в (4.99) а также . Для этого найдём сначала .

Прежде всего, отметим, что , а потому найдём сначала : , причём . Значит x и y линейные функции от независимого переменного t, а потому для нахождения справедлива формула (4.95)

.

Но так как то

.

Отсюда получаем

Полагая в последнем равенстве t = 0 и , а при j = n полагая t = θ, получим

Подстановка (4.100) и этих значений в (4.99) даёт

(4.101)

Равенство (4.101) называется формулой Тейлора для функции . Последнее слагаемое правой части называется остаточным членом этой формулы.

В частном случае, при n = 1 для функции получается формула Лагранжа

,

причём .

При n = 2 из (4.101) получаем

Иногда удобнее пользоваться другими формами записи формулы Тейлора.

Положим , и вместо а будем писать х, а вместо b будем писать y, тогда формула (4.101) примет вид

Перенося слагаемое влево, имеем

.

Если в (4.101) положить то

(4.102)

Формула (4.102) даёт разложение функции по степеням разностей x – x₀ и y – y₀.

Формула Тейлора легко распространяется на функции любого числа аргументов. По аналогии с (4.101) имеем

здесь .

§10. Неявные числовые функции одного действительного переменного

Неявный способ задания числовой функции одного действительного переменного был затронут нами в гл.1, §2. п.2.4.

Теперь перейдем к более подробному изложению теории неявных числовых функций и в первую очередь уточним понятие неявной числовой функции одного действительного переменного.

10.1. Определение и примеры неявных числовых функций

Определение. Если для уравнения

(4.103)

можно указать такой промежуток [a,b] на оси Ох, что для каждого x = x₀ из этого промежутка уравнение

(4.104)

имеет хотя бы один действительный корень y = y₀, т.е., если

,

то в этом случае уравнение (4.103) определяет неявно y как числовую функцию одного действительного переменного x в промежутке [a,b].

При этом если для каждого x из [a,b] уравнение (4.104) имеет один и только один действительный корень, то в этом случае уравнение (4.103) определяет только одну неявную числовую функцию в промежутке [a,b]. В случае нескольких действительных корней уравнение (4.103) задает соответственно столько же неявных числовых функций.

Если же для каждого действительного значения x = x₀ уравнение (4.104) не имеет действительных корней, то в этом случае уравнение (4.103) не определяет y, как числовую функцию действительного переменного x.

Рассмотрим иллюстрирующие примеры.

Пример 1. Если в уравнении

(4.105)

придавать x любые действительные значения x = x₀, то уравнение не имеет ни одного действительного корня. Значит уравнение (4.105) не определяет числовой функциональной зависимости между действительными переменными x и y. Другими словами, в этом примере неявной числовой функции действительного переменного не существует.

Пример 2. Уравнение имеет действительный корень y = 0 только при x = 0. Для всех других значений x ≠ 0 это уравнение действительных корней не имеет. Следовательно, и в этом примере уравнение не определяет числовой функциональной зависимости между действительными переменными x и y.

Пример 3. Уравнение можно решить относительно y и тогда .

Таким образом, для одного действительного x из сегмента получаем два действительных значения y. Значит, уравнение неявно определяет в сегменте две числовые функции одного действительного переменного x: и .

Пример 4. Уравнение определяет y, как неявную числовую функцию от x. В этом можно убедиться, решив уравнение относительно y: . Здесь неявная числовая функция существует и она единственна при всех значениях x: .

Во всех рассмотренных примерах на вопрос о том, существует или не существует неявная числовая функция, определяемая одним из заданных уравнений, можно было ответить, фактически решая каждое уравнение относительно y. Но не всегда это возможно. Например, если уравнение (4.103) имеет следующий вид , то для него не существует простых способов точного решения.

Поэтому в дальнейшем будут поставлены такие общие условия, налагаемые на левую часть уравнения (4.103), то есть на функцию , выполнение которых обеспечивает не только существование неявной числовой функции, но и ряд её свойств – непрерывность, дифференцируемость и другие. При этом необходимость точного решения уравнения (4.103) относительно y отпадает.

Для большей наглядности, рассмотрим вопрос о существовании неявной функции, определяемой уравнением (4.103) с геометрической точки зрения.