Глава 6. Численное решение краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений

6.1 Линейные дифференциальные уравнения

Лабораторная работа №10

Решение граничных задач для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка методом прогонки

6.2 Нелинейные дифференциальные уравнения

Лабораторная работа №11

Численное решение граничных задач для нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений

Глава 7. Численное решение задач на собственные значения

7.1. Резонанс в механических колебаниях

Лабораторная работа №12

Моделирование явления резонанса в механической колебательной системе

7.2. Энергетический спектр и волновые функции электрона в потенциальной яме

Лабораторная работа №13

Численное решение уравнения Шрёдингера как обобщённой задачи на собственные значения

Глава 8. Численное решение дифференциальных уравнений в частных производных

8.1. Волновое уравнение

Лабораторная работа №14 Моделирование поперечных волн в струне

8.2 Уравнение теплопроводности (диффузии)

Лабораторная работа №15. Моделирование одномерной теплопроводности

8.3. Уравнение Пуассона

Лабораторная работа №16. Моделирование стационарных тепловых и электрических полей.

ПРЕДИСЛОВИЕ

Настоящее учебное пособие написано на основе опыта преподавания дисциплины «Математическое моделирование технологических процессов» в Калужском филиале Московского государственного технического университета им. Н.Э.Баумана для студентов специальности «Микроэлектроника и твёрдотельная электроника».

Термин «математическое моделирование» прочно вошёл в обиход современного инженера. В широком плане математическое моделирование понимается как метод получения информации об изучаемом объекте посредством решения описывающих его уравнений с помощью компьютера. Мы трактуем математическое моделирование более конкретно – как метод получения зависимостей и закономерностей, характеризующих объект. С этой точки зрения любые компьютерные расчёты (конструкторские, экономические, бухгалтерские), результатом которых является число, не есть математическое моделирование.

Зависимости и закономерности устанавливаются в результате решения уравнений (дифференциальных, интегральных, интегро-дифференциальных, алгебраических) либо задач оптимизации.

Цель этой книги – изложить по возможности просто основные методы численного решения дифференциальных уравнений (обыкновенных и в частных производных), наиболее часто встречающихся в прикладных задачах, и показать их реализацию на конкретных примерах. Мы не стремились при изложении материала к уровню строгости, принятому у математиков. Мы считаем это оправданным при обучении инженеров, призванных решать задачи, а не доказывать теоремы. Вслед за Дж. Займаном мы можем повторить: «Эта книга полна идей, а не фактов. Она посвящена изложению принципов, а не описанию явлений» [1]. Принятый уровень изложения наиболее близок к книге Самарского А.А. и Михайлова А.П. [2]. Строгое изложение с обоснованиями и доказательствами рассмотренных вопросов можно найти в книге [3].

Практикум состоит их восьми глав. В двух первых главах рассмотрены принципы построения математических моделей и основные идеи двух главных методов численного решения модельных уравнений – метода конечных разностей и метода конечных элементов. Далее последовательно рассмотрено применение метода конечных разностей для численного решения задачи Коши, граничных задач и задачи Штурма-Лиувилля для обыкновенных дифференциальных уравнений, краевых задач для одномерного волнового уравнения, одномерного и многомерного уравнения теплопроводности, уравнения Пуассона. Каждая глава сопровождается примерами применения рассмотренных алгоритмов в виде заданий, выполняемых студентам на лабораторных работах в компьютерном классе. Хотя курс рассчитан на специалистов по электронике, мы включили в практикум ряд задач, относящихся к другим областям знания, иногда отстоящих от электроники достаточно далеко. Это сделано сознательно, так как для инженера важно уметь переносить свой опыт в смежные области и перенимать опыт из смежных областей в соответствии с теоремой Фейнмана «одинаковые уравнения имеют одинаковые решения, но разную интерпретацию». Выполнение заданий предполагает разработку несложной программы в системах программирования MathCAD или Matlab. Это позволяет, с одной стороны, отчётливее представить себе особенности алгоритма решения математической задачи, его логику. С другой стороны, численные расчёты по разработанной программе углубляют понимание физических процессов, описываемых моделью, дают их наглядный образ, проясняют зависимость решения от параметров модели. Результаты этого маленького исследования должны быть отражены в отчёте, оформляемом студентом по каждой работе. Отчёт должен содержать блок-схему алгоритма, его программную реализацию, графическое представление решения, содержательные выводы об обнаруженных закономерностях и их физическую интерпретацию.

Навыки программирования и решения конкретных задач, приобретённые студентами, позволят им впоследствии более уверенно применять для моделирования сложные интегрированные программные средства.

Большую помощь в совершенствовании пособия оказали советы замечания коллег по кафедре и университету. Мы особенно признательны рецензенту профессору А.А. Столярову и профессору С.С. Стрельченко, внимательно прочитавшим книгу в рукописи и высказавшим ряд критических замечаний, в немалой степени способствовавших её улучшению.

Ю.П. Головатый

В.Г. Косушкин

ВВЕДЕНИЕ

Моделирование есть универсальный научный метод, заключающийся в замене реального объекта или процесса (оригинала) моделью – объектом или процессом, подобным оригиналу, и изучении её свойств.

Экспериментальное изучение реальной физической модели называется физическим моделированием. Физическая модель, как правило, геометрически подобна оригиналу, но может отличаться от него физическими характеристиками материала, энергией, давлением, величинами физических полей и т.п. В основе физического моделирования лежат теория подобия и анализ размерностей. Они устанавливают критерии подобия в виде некоторой комбинации параметров реальной среды и модели. При равенстве критериев подобия модели и реального процесса можно по результатам, полученным на модели, рассчитать переменные, характеризующие реальный процесс. Физическое моделирование широко применяется в гидроаэромеханике, теплотехнике, электротехнике. Проектирование самолёта или корабля обязательно включает этап продувки геометрически подобной модели в аэродинамической трубе или испытание в гидродинамическом бассейне. Примеры критериев, используемых в гидроаэромеханике и теплотехнике:

- число Рейнольдса ,

- число Фурье ,

- число Био ,

где - характерная скорость движения вязкой среды, ;

- характерный геометрический размер, ;

- характерное время, ;

- динамическая вязкость, ;

- плотность среды, ;

- кинематическая вязкость, ;

- коэффициент теплопроводности, ;

- удельная теплоёмкость, ;

- коэффициент температуропроводности, ;

- коэффициент теплоотдачи, .

Физическое моделирование заменяет натурный эксперимент, который часто вообще невозможен или нецелесообразен по экономическим соображениям. Но даже такая замена возможна далеко не всегда. Физический эксперимент может потребовать (и требует, как правило) создания весьма дорогостоящей экспериментальной базы и, что даже более важно, больших временных затрат. Последнее в современном быстро меняющемся мире оказывается решающим.

Поэтому в последние десятилетия (начиная с пионерской работы Э.Ферми, Дж.Пасты и С.Улама, 1954 г.) получило развитие математическое моделирование. Математическое моделирование состоит в замене реального объекта или процесса его математической моделью – уравнениями, описывающими пространственно-временнóе поведение переменных, характеризующих объект или процесс, и решении этих уравнений.

Конечно, замена реального объекта математической моделью есть общий метод в теоретической физике, восходящий ещё к И. Ньютону. Он использовал представление тяготеющих тел - планет, их спутников, комет, Солнца - в виде материальных точек, взаимодействующих по закону обратных квадратов. Вся небесная механика до сих пор базируется на этой модели.

При описании столкновений тел конечных размеров их часто считают абсолютно твёрдыми, не деформируемыми. В других случаях более удобной оказывается модель абсолютно упругого тела. В гидродинамике жидкость также в одних случаях считается идеальной, не обладающей вязкостью – это, по Дж. фон Нейману, “сухая вода”. В других случаях вязкость учитывается – вода, по Дж. фон Нейману, становится “мокрой”.

Перечисленные и другие модели объектов и процессов формулируются в рамках конкретных наук – механики, гидродинамики, электродинамики, физики твёрдого тела. Они принадлежат этим наукам до тех пор, пока решение математической задач может быть получено достаточно простыми методами, аналитическими или численными.

Под юрисдикцию математического моделирования задача переходит в случае, если на первый план выходит разработка метода численного решения и его программная реализация. То есть, предметом математического моделирования являются задачи, не имеющие аналитического решения, а численное решение “ручными” методами требует чудовищно много времени.

Разработка эффективных алгоритмов и компьютерных программ не просто ускоряет процесс решения, а позволяет в ряде случаев получать неожиданные результаты, которые невозможно получить аналитически из общих уравнений теории. По этой причине математическое моделирование стоит над конкретными науками, интегрируя их опыт и перенося его из одной науки в другую.

Одной из областей, где применение методов математического моделирования оказалось очень плодотворным, является полупроводниковая электроника.

Создание полупроводникового прибора состоит из трёх этапов:

- изготовление исходной полупроводниковой монокристаллической или эпитаксиальной структуры;

- формирование топологии прибора;

- изготовление реальной приборной структуры и её тестирование.

Современные технологии позволяют выращивать совершенные полупроводниковые монокристаллы диаметром до 450 мм. Для этого должны тщательно контролироваться самые тонкие гидродинамические, термодинамические и кинетические эффекты в расплаве полупроводника, влияющие на процесс кристаллизации. Столь же тщательный контроль необходим при выращивании эпитаксиальных структур методами молекулярно-лучевой эпитаксии (МЛЭ) или металлоорганической газофазной эпитаксии (МОГФЭ). Эти эффекты содержатся в нелинейных уравнениях Навье-Стокса, газодинамики и физико-химической кинетики. Решение их в реальных ситуациях возможно только численными методами.

Формирование топологии прибора осуществляется с использованием технологических процессов ионной имплантации и диффузии легирующих примесей, термического окисления, нанесения тонких диэлектрических, полупроводниковых и металлических плёнок.

Конечная приборная структура формируется после термического отжига, восстанавливающего кристаллическую структуру и электрически активирующего примеси. Для предсказания их профилей распределения, толщин оксидных и поликристаллических плёнок необходимо совместно решить систему уравнений диффузионной кинетики примесей, точечных дефектов и кислорода. Параметры этих уравнений зависят от температуры, внутренних электрических полей и концентраций, поэтому их также можно решить только численно.

Размеры активных областей в приборной структуре уже меньше , а степень их интеграции составляет десятки миллионов на кристалл. При такой плотности количественное описание характеристик и параметров приборов с помощью простых моделей типа модели Шокли становится невозможным по следующим причинам. Во-первых, перенос электронов и дырок становится существенно двумерным и даже трёхмерным и осуществляется посредством и диффузии, и дрейфа. В этих условиях прибор описывается системой взаимосвязанных уравнений переноса и Пуассона. Во-вторых, при определённых режимах работы прибора температура в разных частях его структуры может быть различной. Тогда к двум указанным уравнениям добавится уравнение, описывающее баланс энергии. В-третьих, при размерах активной области менее 0,05 мкм, которые уже стали обыденными в оптоэлектронике, и к которым вплотную приблизилась микроэлектроника, в поведении носителей заряда существенно проявляются квантовые свойства. Поэтому плотность их следует описывать квадратом модуля волновой функции , для нахождения которой в систему уравнений прибора следует включить уравнение Шрёдингера. Для анализа оптоэлектронных приборов необходимо знать энергетический спектр носителей в квантоворазмерных структурах, который также находится из уравнения Шрёдингера. В-четвёртых, большое прикладное значение имеет анализ переходных процессов в полупроводниковых приборах. В силу неизбежного наличия ёмкостных и индуктивных свойств у любого прибора или электронной схемы переходные процессы имеют колебательный характер. Описывающие их дифференциальные уравнения или системы уравнений, как правило, нелинейны, и не могут быть решены аналитически.

Таким образом, использование сложного математического аппарата абсолютно необходимо как при разработке приборной структуры, так и при последующем анализе и интерпретации её свойств.