1.4.5 Системи лінійних однорідних рівнянь

Нехай дана система лінійних однорідних рівнянь

Очевидно, що однорідна система завжди сумісна ( ), вона має нульовий (тривіальний) розв'язок .

При яких умовах однорідна система має і ненульові розв'язки?

Теорема.1.4.4. Для того, щоб система однорідних рівнянь мала ненульові розв'язки, необхідно і достатньо, щоб ранг її основної матриці був меншим числа невідомих, тобто .

□ Необхідність

Оскільки не може перевищувати розмір матриці, то, очевидно, . Нехай , тоді один з мінорів розміру відмінний від нуля. Тому відповідна система лінійних рівнянь має єдиний розв'язок : . Тобто, інших, крім тривіальних, розв’язків немає. Отож, якщо є нетривіальні розв'язки, то .

Достатність.

Нехай . Тоді однорідна система, що є сумісною, являється невизначеною. Значить, вона має нескінченну множину розв’язків, тобто має і ненульові розв'язки.

Нехай дана однорідна система з невідомими:

■

Теорема.1.4.5 Для того, щоб однорідна система лінійних рівнянь з невідомими мала ненульові розв'язки, необхідно і достатньо, щоб її визначник дорівнював нулю : .

□ Якщо система має ненульові розв'язки, то . Бо при система має тільки єдиний , ненульовий розв'язок. Якщо ж , то ранг основної матриці системи менше числа невідомих, тобто . І, значить, система має нескінченну множину (ненульових розв’язків). ■