Тема 1.2 Визначники

1.2.1. Основні поняття

Квадратній матриці порядку можна зіставити число (або , або ), називане її визначником, у такий спосіб:

1. .

2. 

3. 

Визначник матриці також називають її детермінантом. Правило обчислення детермінанта для матриці порядку є досить складним для сприйняття і застосування. Однак відомі методи, що дозволяють реалізувати обчислення визначників високих порядків на основі визначників нижчих порядків. Один з методів заснований на властивості розкладання визначника по елементах деякого ряду. При цьому помітимо, що визначники невисоких порядків (1, 2, 3) бажано вміти обчислювати відповідно до означення.

Обчислення визначника 2-го порядку ілюструється схемою:

.

Приклад 1.2.1. Знайти визначники матриць

і

○ ;

. ●

При обчисленні визначника 3-го порядку зручно користуватися правилом трикутників (або Саррюса ), що символічно можна записати так:

.

Сума добутків елементів головної діагоналі та рівнобедрених трикутників з основами паралельними їй

Сума добутків елементів побічної діагоналі та рівнобедрених трикутників з основами паралельними їй

Приклад 1.2.2. Обчислити визначник матриці

.

○

. ●

1.2.2. Властивості визначників

Сформулюємо основні властивості визначників, властиві визначникам усіх порядків. Деякі з цих властивостей пояснимо на визначниках 3-го порядку.

Властивість 1. («Рівноправність рядків і стовпців»). Визначник не зміниться, якщо його рядки замінити стовпцями, і навпаки.

Іншими словами,

, .

Надалі рядки і стовпці будемо просто називати рядами визначника.

Властивість 2. При перестановці двох паралельних рядів визначник змінює знак.

Властивість 3. Визначник, що має два однакових ряди, дорівнює нулеві.

Властивість 4. Загальний множник елементів якого-небудь ряду визначника можна винести за знак визначника.

З властивостей 3 і 4 випливає, що якщо всі елементи деякого ряду пропорційні відповідним елементам паралельного ряду, то такий визначник дорівнює нулеві.

□ Дійсно,

. ■

Властивість 5. Якщо елементи якого-небудь ряду визначника являють собою суми двох доданків, то визначник може бути розкладений на суму двох відповідних визначників.

Наприклад,

.

Властивість 6 («Елементарні перетворення визначника»). Визначник не зміниться, якщо, до елементів одного ряду додати відповідні елементи паралельного ряду, помноженого на будь-яке число відмінне від нуля.

Приклад 1.2.3. Довести, що

.

○ Розв’язання. Дійсно, використовуючи властивості 5, 4 і 3, одержимо

●

Подальші властивості визначників зв'язані з поняттями мінору й алгебраїчного доповнення.

Мінором деякого елемента визначника -го порядку називається визначник ( -1)-го порядку, отриманий з вихідного шляхом викреслювання рядка і стовпця, на перетинанні яких знаходиться обраний елемент. Позначається .

Так, якщо , те , .

Алгебраїчним доповненням елемента визначника називається його мінор, узятий зі знаком «плюс», якщо сума - парне число, і зі знаком «мінус», якщо ця сума непарна. Позначається : .

Так, , .

Властивість 7 («Розкладання визначника по елементах деякого ряду»). Визначник дорівнює сумі добутків елементів деякого ряду на відповідні їм алгебраїчні доповнення.

Проілюструємо й одночасно доведемо властивість 7 на прикладі визначника 3-його порядку. У цьому випадку властивість 7 означає, що

.

□ Справді, маємо

■

Властивість 7 містить у собі спосіб обчислення визначників високих порядків.

Приклад 1.2.4. Обчислите визначник матриці

.

○ Для розкладання визначника звичайно вибирають той ряд, де є нульові елементи, тому що відповідні їм доданки в розкладанні будуть дорівнюють нулеві.

. ●

Властивість 8. Сума добутків елементів якого-небудь ряду визначника на алгебраїчне доповнення відповідних елементів паралельного ряду дорівнює нулеві.

Так, наприклад, .