14. Годовой доход y гражданина в некоторой стране определяется по следующей формуле:

Y = 10000 + 500S+200t,

где S – число лет обучения в годах, t – трудовой стаж в годах. Данные о числе лет обучения, трудовом стаже и возрасте 5 индивидов приведены в таблице.

№ п/п	Число лет обучения в годах, (S)	Трудовой стаж в годах, (t)	Возраст индивида, (X)
1	11	1	18
2	14	6	29
3	12	8	33
4	16	10	35
5	12	5	45

Рассчитать cov(X,Y), cov(X,S), cov(X,t) по определению и по формуле (см. задачу 13). Получить аналитическое выражение для cov(X,Y) и проверить полученное выражение расчетным путем. Построить диаграмму рассеивания, рассчитать коэффициент корреляции и проверить наличие зависимости между переменными X и Y, X и S, X и t на основе проверки гипотезы о коэффициенте корреляции.

15. Получены данные с1954 по 1965 гг. по приросту численности занятых и темпу прироста выпуска продукции (темпа прироста производительности труда). Эти данные представлены в таблице

Страна	Прирост численности занятых, (е)	Темп прироста выпуска продукции, (р)
Австрия	2,0	4,2
Бельгия	1,5	3,9
Канада	2,3	1,3
Дания	2,5	3,2
Франция	1,9	3,8
Италия	4,4	4,2
Япония	5,8	7,8
Нидерланды	1,9	4,1
Норвегия	0,5	4,4
ФРГ	2,7	4,5
Великобритания	0,6	2,8
США	0,8	2,6

Рассчитать cov(e,p) по определению и по формуле (см. задачу 13). Построить диаграмму рассеивания, рассчитать коэффициент корреляции и проверить наличие зависимости между переменными e и p на основе проверки гипотезы о коэффициенте корреляции.

16. Доказать, что (теорема об оценке ковариации).

17. Дан рынок, состоящий из трех активов a₁, a₂, a₃. Рынок может находиться в одном из трех состояний S₁, S₂, S₃. Данные по вероятностным состояниям и доходностям активов приведены в таблице. Составить ковариационную C = (c_ij), c_ij = cov(R_i, R_j) и корреляционную ρ =(ρ_ij), ρ_ij = cor(R_i, R_j) матрицы.

Состояния, S	Вероятность, p(S)	Доходность актива, a1 , R1 (%)	Доходность актива, a2 , R2 (%)	Доходность актива, a3 , R3 (%)
S1	0.3	20	30	-10
S2	0.6	20	5	15
S3	0.1	5	-20	15

18. Проанализировать [10] с точки зрения ТВМС.

19. [1, c.27] Показать, что для случайной величины z, определенной по формуле ,

где x – нормально распределенная случайная величина, μ – математическое ожидание случайной величины x, σ – стандартное отклонение, выполняются следующие соотношения:

, σ²_z = 1, .

20. [1, c.29] Матрица коэффициентов корреляции R является неотрицательно определенной (или положительно полуопределенной), то есть обладает следующим свойством: для любого вектора u скалярное произведение (uR; u)≥0.

Доказать данное свойство для двумерного и k-мерного случаев.

21. [1, c.33] Покажите, что R² равен квадрату выборочного коэффициента корреляции между переменными y и .

22. Используя метод наименьших квадратов, найти коэффициенты уравнения:

а) y = a + bx + cx²;

б) y = a + blnx + cx.

23. Получить решение задачи, разобранной в лабораторной работе №1 [2], в матричном виде для нестандартизированных (т.е. нецентрированных, ненормированных) данных:

b = (X^T*X)^-1*X^T*Y.

24. [1, c.39] Найти абсциссы точек пересечения графиков функций плотности вероятности нормального распределения, имеющих математическое ожидание μ, дисперсии σ²₁ и σ²₂ соответственно (рис. 4.4 «Эконометрика. Учебное пособие»).

25. По данным за 7 месяцев построено уравнение регрессии зависимости прибыли предприятия y (млн. руб.) от объема реализации (тыс. руб. за 1 т) и производительности труда (ед. продукции на 1 работника):

при анализе остаточных величин были использованы значения, приведенные в табл.

№	y
1	700	900	300
2	1200	1200	700
3	850	1180	400
4	920	1050	600
5	680	960	550
6	800	1100	350
7	700	950	650

требуется:

1. по семи позициям рассчитать

2. рассчитать критерии Дарбина - Уотсона.

3. Оценить полученный результат при 5%-ном уровне значимости.

4. Указать, пригодно ли уравнение для прогноза.

26. Если y зависит от x как квадратичная функция вида:

1. y = x² + 2x + 1;

2. y = – x² + 2x + 1;

Если оценена связывающая их линейная регрессия, то какой (примерно) можно ожидать величину DW?

27. Руководство большой шоколадной фабрики заинтересовано в построении модели для того, чтобы предсказать реализацию одной из своих уже долго существующих торговых марок. На основе собранных данных определить «лучшую» модель для прогноза объема реализации.

Дата	Реализация за 6 месяцев млн.ф.ст.	Реклама млн.ф.ст.	Цена, пенсы за ед.	Цена конкурента пенсы за ед.	Индекс потребительских расходов
19X0 I-VI VII-XII	126 137	4,0 4,8	15,0 14,8	17,0 17,3	100, 98,4
19X1 I-VI VII-XII	148 191	3,8 8,7	15,2 15,5	16,8 16,2	101,2 103,5
19X2 I-VI VII-XII	274 370	8,2 9,7	15,5 16,0	16,0 18,0	104,1 107,0
19X3 I-VI VII-XII	432 445	14,7 18,7	18,1 13,0	20,2 15,8	107,4 108,5
19X4 I-VI VII-XII	367 367	19,8 10,6	15,8 16,9	18,2 16,8	108,3 109,2
19X5 I-VI VII-XII	321 307	8,6 6,5	16,3 16,1	17,0 18,3	110,1 110,7
19X6 I-VI VII-XII	331 345	12,6 6,5	15,4 15,7	16,4 16,2	110,3 111,8
19X7 I-VI VII-XII	364 384	5,8 5,7	16,0 15,1	17,7 16,2	112,3 112,9