2 Разностные методы решения задач математической физики

2.1 Разностные схемы для линейных дифференциальных уравнений

эллиптического типа

2.1.1 Краевые задачи для линейных дифференциальных уравнений

эллиптического типа

Исследование математическими методами стационарных процессов различной физической природы приводит к краевым задачам для уравнений эллиптического типа. К дифференциальному уравнению (1.1) эллиптического типа присоединяются граничные условия и в целом они представляют краевую задачу. Граничные условия могут быть трёх видов:

1. Граничные условия первого рода:

и|_г= φ₁(М), (2.1)

2. Граничные условия второго рода:

|_г = φ₂(М), (2.2.)

где |_г - производная по внешней нормали;

3. Граничные условия третьего рода:

[ + u] |_г = φ₃(М), (2.3.)

где , , φ₁, φ₂, φ₃ - известные функции, М – точка границы Г.

Требуется определить функцию и(х,у), которая в области D удовлетворяла бы дифференциальному уравнению (1.1) эллиптического типа и одному из граничные условий. Эта задача совместно с граничным условием (2.1) называется задачей Дирихле, совместно с граничным условием (2.2) называется задачей Неймана, а совместно с граничным условием (2.3) называется смешанной граничной задачей, иначе задачей Дирихле – Неймана.

При рассмотрении некоторых вопросов численного решения граничных задач целесообразно воспользоваться понятием и свойствами гармонических функций. Функция и(х,у) называется гармонической, если она имеет непрерывные частные производные второго порядка в области D и удовлетворяет внутри этой области уравнению Лапласа

. (2.4)

Простейшими гармоническими функциями являются линейная функция u=ax+by+c. Исходя из определения гармонических функций, задача Дирихле может быть сформулирована следующим образом: найти функцию, гармоническую внутри данной области D и принимающую на её границе Г непрерывные заданные значения.

2.1.2 О задаче Дирихле

Единственность решения задачи Дирихле и непрерывная зависимость её от краевых условий (корректность краевой задачи) вытекает из следующих свойств гармонических функций.

Свойство 1 (принцип максимума).

Гармоническая в ограниченной области функция и непрерывная в замкнутой области = D+Г, не может принимать внутри этой области значений больших, чем максимальное её значение на границе Г, и меньших, чем меньшее её значение на границе Г.

Доказательство. Пусть М – максимум значений и(х,у) на границе Г. Допустим, что функция и(х,у) в некоторой точке Р₀(x₀,y₀) внутри D принимает значение μ = и(х₀ , у₀ ), причём μ > M. Составим вспомогательную функцию

v(х,у) = и(х,у)+

где d – диаметр области D. Очевидно, имеем

v(х₀ ,у₀) = и(х₀ ,у₀) = μ,

причём, при (x,y) Г выполнено неравенство

v(х,у) ≤ М+ = < μ.

Следовательно, функция v(х,у) достигает своего максимума внутри области D в некоторой точке (х⁰,у⁰), причём в этой точке будут выполнены необходимые условия для максимума функции:

Из соотношения

= 0 +

вытекает, что по меньшей мере одна из производных положительна внутри D. Поэтому функция v(х,у) ни в какой внутренней точке области D не может иметь максимума, и тем самым приходим к противоречию, следовательно v(х,у) ≤ М.

Свойство 2 (единственность задачи Дирихле).

Задача Дирихле для замкнутой и ограниченной области может иметь лишь единственное решение, т.е. не существует двух непрерывных гармонических функций в замкнутой ограниченной области D, принимающих на границе одни и те же значения.

Доказательство. Допустим, что две функции и₁(х,у) и и₂(х,у) гармонические в области D, совпадают всюду на её границе. Рассмотрим функцию

и(х,у)= и₁(х,у)- и₂(х,у).

Очевидно, что и(х,у)- гармоническая функция, обращающаяся в нуль на границе. По свойству 1 эта функция не может принимать внутри D значений больше или меньше нуля, следовательно, и(х,у) 0 внутри D и и₁(х,у) = и₂(х,у).

Замечание. Из доказанного не следует, что задача Дирихле для ограниченной замкнутой области D имеет решение, это свойство только утверждает, что если решение существует, то оно единственно.

Свойство 3 (корректность задачи Дирихле). Решение задачи Дирихле для ограниченной и замкнутой области D непрерывно зависит от граничных данных.

Сущность этого свойства очевидна в силу свойства 1.