- •Математический факультет Кафедра вычислительной математики и программирования
- •Содержание
- •2 Разностные методы решения задач математической физики….…..20
- •Разностные схемы для линейных дифференциальных уравнений
- •1 Математические модели физических систем
- •1.1 Физические системы и методы их исследования
- •Основные определения и понятия
- •Системы деформируемых твёрдых тел
- •1.1.3 Подходы к исследованию систем деформируемых твёрдых тел
- •1.1.4 Средства исследования состояния систем деформируемых твёрдых тел
- •Разностные схемы для основных уравнений математической физики
- •1.2.1 Основные уравнения математической физики и их классификация
- •1.2.2 Разностная аппроксимация основных производных. По определению производная функции одной переменной записывается в виде
- •Это значит, что аппроксимация
- •Общий принцип метода сеток
- •Сходимость, аппроксимация и устойчивость разностных схем
- •2 Разностные методы решения задач математической физики
- •2.1 Разностные схемы для линейных дифференциальных уравнений
- •2.1.1 Краевые задачи для линейных дифференциальных уравнений
- •2.1.2 О задаче Дирихле
- •2.1.3 Разностные аппроксимации уравнений эллиптического типа
- •2.1.4 Разностная аппроксимация граничных условий
- •2.2 Построение разностной аппроксимации задачи Дирихле для
- •2.2.1 Разностная схема задачи Дирихле для уравнения Пуассона.
- •2.2.2 Устойчивость и сходимость разностной задачи Дирихле
- •2.3. Разрешимость разностных уравнений и способы их решения. Правило Рунге
- •2.4. Разностные схемы для линейных дифференциальных
- •2.5. Разностные схемы для линейных дифференциальных уравнений
- •2.5.1. Общая постановка задачи.
- •3. Метод конечных элементов и суперэлементов
- •3.1. Физические предпосылки методов
- •3.2 Деформации твёрдых тел
- •3. 2.1 Линейно-упругие деформации твёрдых тел
- •3.2.2. Нелинейно-упругие деформации твёрдых тел
- •3.3. Прикладные вопросы метода конечных элементов
- •3.3.1. Основная концепция метода конечных элементов
- •3.3.2 Дискретизация и оптимальная нумерация узлов области
- •3.3.3. Метод конечных элементов в теории упругости.
- •3..4 Построение конечно - элементных соотношений
- •3.5. Аналитический алгоритм метода конечных элементов для исследования
- •Свойства матрицы жёсткости
- •3.7 Аналитический алгоритм метода суперэлементов
- •Методы исследования нелинейных математических
- •4.1 Общие предпосылки методов численного исследования нелинейных
- •4.2 Итерационные численные методы
- •4.3 Безитерационные методы исследования нелинейных математических моделей деформируемых твёрдых тел и их систем
- •4.4 Сравнительный анализ эффективности методов исследования
- •5 Основы методологии компьютерного объектно-
- •5.1 Основные понятия и определения
- •5.2 Построение виртуальной физической модели системы
- •5.3 Исходные данные при компьютерном моделировании
- •5.4 Деформации грунтовых оснований при устройстве отдельных
- •6 Технология компьютерного объектно-
- •6.1 Технологические этапы компьютерного объектно-ориентированного
- •6.2 Интерфейс визуального ввода данных
- •7 Программное обеспечение компьютерного
- •7.1 Структура программного обеспечения объектно-ориентированного моделирования системы деформируемых твёрдых тел
- •7.2 Технология объектно-ориентированного программирования
- •Объектно-ориентированного моделирования физической системы
- •7.3 Программный комплекс «Энергия - 2д » моделирования
- •7.4 Программный комплекс «Энергия - ос » моделирования
- •7.5 Программный комплекс «Энергия - 3д » моделирования
- •8 Верификация технологии и программного
- •8.1 Методологические аспекты верификации
- •8.2 Верификация технологии и программного обеспечения
- •8.3 Верификация технологии и программного обеспечения
- •8.4 Верификация технологии и программного обеспечения
- •Численные методы математической физики
- •1. Метод сеток для задачи дирихле
- •1.1. Основы метода сеток
- •1.3.Варианты задания
- •Лабораторная работа №2
- •Дополнение к лабораторной работе №2
- •Лабораторная работа №3 Метод сеток для уравнения параболического типа.
- •Лабораторная работа №4 Метод сеток для уравнения гиперболического типа
Разностные схемы для основных уравнений математической физики
1.2.1 Основные уравнения математической физики и их классификация
Задачи математической физики имеют обширные приложения: это различные задачи механики деформируемого твёрдого тела и теории упругости, различные колебательные процессы и распространения, задачи о течении жидкости и газов и многие другие. Процессы, исследуемые в этих задачах, разделяются на два класса: нестационарные, т.е. меняющиеся во времени, и стационарные, т.е. неменяющиеся во времени. Общим для этих задач является подход их формализованного описания. Возникающие при этом математические задачи содержат много общих элементов и составляют предмет математической физики. В настоящем курсе будут рассмотрены задачи математической физики, приводящие к уравнениям с частными производными второго порядка с двумя независимыми переменными. В замкнутой форме такие задачи не решаются, поэтому для решения разработаны различные численные методы. Основными из них являются МКР, МКЭ, МСЭ, МГЭ. Их изучение начнём с метода конечных разностей или иначе метода сеток [.
Пусть D некоторая двумерная область двух независимых переменных x и y и Г – граница этой области. Говорят, что в области D задано линейное дифференциальное уравнение второго порядка для функции u(x,y), если для любой точки из области D имеет место соотношение
где a(x,y), b(x,y),….- коэффициенты, f(x,y) – свободный член уравнения.
Эти функции известны и их обычно считают определёнными в замкнутой области = D+Г. Коэффициенты a,b,c определяют тип дифференциального уравнения. В этой связи вводится понятие дискриминанта уравнения:
. (1.2)
В зависимости от знака линейное дифференциальное уравнение (1.1) в области D относится к одному из следующих типов:
< 0 – эллиптический тип,
= 0 – параболический тип,
> 0 – гиперболический тип для всех (x,y) D.
Уравнениями параболического и гиперболического типов описываются нестационарные процессы, а стационарные - описываются эллиптическими уравнениями.
1.2.2 Разностная аппроксимация основных производных. По определению производная функции одной переменной записывается в виде
при h 0. (1.3)
Значению шага приращения h можно придать некоторое малое, отличное от нуля, значение и попытаться проверить, что приближение получается достаточно точным (проблема точности) и что ошибка не возрастает в ходе процесса вычислений (проблема устойчивости). В приведенном соотношении (1.3) производная заменяется разностью. Этот приём можно применить и к уравнениям в частных производных, приближённо заменяя производные разностями. Но в исследуемых уравнениях математической физики мы будем рассматривать функции от двух переменных, поэтому обе переменные должны участвовать в разностном уравнении. Рассмотрим методику такой аппроксимации. Вначале рассмотрим разности в направлении x. При этом будем исходить из правила разложения функции u(x,y0) в ряд Тейлора в окрестности точки (x0, y0 ). Получим
где ξ лежит между х и х0. Положим х = х0 +h, после ряда преобразований получим