3.2.2. Нелинейно-упругие деформации твёрдых тел

В основе классической теории упругости лежит представление об упругом и линейно деформируемом теле. Для такого тела принимают наиболее простую, линейную, зависимость между слагающими деформациями и возникающими при этом напряжениями. Диаграмма растяжение-сжатие для такого материала в обычных координатах "напряжение-деформация" представляется прямой линией, выходящей из начала координат.

Если для материала не применим закон Гука или рассматриваемое состояние деформации перешло за предельно упругое, т.е. в изучаемом диапазоне деформаций диаграмма растяжений материала представляется явно выраженным отрезком кривой (рис.3.3), то в этих случаях в качестве физического закона необходимо принять уравнение этой кривой: =f().

Рис.3.3. Диаграмма растяжения для нелинейно-упругого материала.

Допустим, что процесс медленной разгрузки происходит по кривой ВАО, причем в обратном порядке наблюдаются те же состояния, что и при нагрузке по ОАВ. Если процесс ОАВ окажется обратимым, такое тело назовем нелинейно-упругим. Теорию, устанавливающую законы деформации в таком теле, называют нелинейной теорией упругости.

Основную предпосылку нелинейной теории упругости можно сформулировать следующим образом: при сложном напряженном состоянии зависимость между интенсивностью напряжений и интенсивностью деформаций для каждой точки тела принимается такой же, как зависимость напряжения с удлинением при простом растяжении того же тела. Зависимость между напряжением и деформацией в точке для нелинейно-упругого тела в напряженном состоянии, используя понятия интенсивности напряжения и интенсивности деформации, можно представить в виде:

_i=E’_i, (3.4)

где E’= f().- секущий модуль деформации первого рода.

Если результаты испытания на простое растяжение за пределом упругости для какого-либо материала обработаны в виде =E(1-), где E - обычный модуль упругости материала, а  - некоторая аналитическая функция относительного удлинения (отличная от нуля только за пределом упругости), т.е. , то в случае сложного напряженного состояния для этого материала применяется закон деформации в виде:

_i=E(1-)_i,

где _i - функция интенсивности деформации, отличная от нуля только за пределом упругости.

Используя выражение (3.4) и зависимость G^′=

можно получить уравнения для нелинейно-упругого тела:

(3.5)

где

Уравнения (3.5) для нелинейно-упругого тела и уравнения (3.3) для линейно упругого тела можно обобщить. Тогда, используя понятия о девиаторах напряжений и деформаций, законы упругих и пластических деформаций можно сформулировать следующим образом.

Первый основной закон - закон изменения объема. При упругих и пластических, при пассивных и активных деформациях твердого тела относительное изменение объема элемента этого тела прямо пропорционально среднему напряжению, причем модуль объемной деформации остается постоянной величиной как в пределах, так и за пределами упругости:

где E - модуль упругости и  - коэффициент Пуассона.

Второй основной закон - закон изменения формы при активной деформации. При упругих и пластических деформациях, соответствующих случаю простого нагружения для каждой точки тела, девиатор напряжения прямо пропорционален девиатору деформации:

где G’ - модуль упругости второго рода.

Третий основной закон - закон связи обобщенного напряжения с обобщенной деформацией при активном нагружении. Обобщенное напряжение, возникающее в теле при любой активной деформации, для каждого материала есть определенная функция обобщенной деформации:

_i_i

Вид функции  зависит только от материала тела. Величина _i зависит только от величины _i и от физических свойств данного материала.