Системы деформируемых твёрдых тел
Понятие твёрдого тела несколько условно. Это объясняется тем, что реальные твёрдые тела, встречающиеся в природе, обладают очень большим спектром свойств, учесть которые одновременно во многих случаях не представляется возможным. Поэтому при исследовании состояния твёрдых тел под нагрузкой прибегают к их идеализации, выделяя при этом те свойства, которые могут оказаться значимыми для целей исследования [2,3,4,5,6].
В классической теории упругости рассматривается линейно-деформи-руемое твёрдое тело заданной формы и с заданными физико-механическими характеристиками. На тело действуют заданные нагрузки и наложены некоторые связи. Требуется определить напряжения, деформации и перемещения в теле. При решении таких задач принимается следующие допущения [3, 4, 6].
1 Материал деформируемого твёрдого тела (элемента систе6мы деформируемых твёрдых тел) представляет собой сплошную среду.
Из допущения сплошности следует непрерывность распределения внутренних сил по объёму тела и для их описания можно использовать аппарат математического анализа. Например, говоря о напряжениях, переходим к пределу отношения внутренних сил, действующих на некоторой площадке, к её площади, стремящейся к нулю, что имеет смысл только для сплошной среды:
где σν - вектор напряжений в точке, ν - нормаль к площадке S.
Деформации в точках тела считаются малыми.
Это допущение говорит о том, что под действием нагрузок размеры тела существенно не меняются.
Из изложенного следует, что в основе классической теории упругости лежат два процесса линеаризации. Первый из них, касающийся геометрии деформированного тела, основан на предположении, что безразмерные величины, определяющие деформацию, весьма малы, и поэтому можно достаточно точно описать деформированное состояние, отбросив высшие степени деформации как малые величины по сравнению с первыми степенями (геометрическая линеаризация). Второй процесс линеаризации относится к физическим свойствам материала и основан на предположении, что напряжения и деформации связаны линейной зависимостью, определяемой законом Гука (физическая линеаризация). Поэтому имеются различные возможности построения нелинейной теории упругости. Во-первых, можно отказаться от геометрической линеаризации, но сохранить физическую линеаризацию и, следовательно, предположить, что закон Гука справедлив также для больших деформаций. Во-вторых, можно исходить из предположения о том, что при деформациях, допускающих без опасения геометрическую линеаризацию, имеют место заметные отклонения от закона Гука. Это предположение, подтверждаемое действительным поведением многих материалов, заставляет уже при малых деформациях ввести в закон Гука дополнительные члены, нелинейные относительно деформаций, но, благодаря достаточно большим коэффициентам, имеющие возможность достигать величины линейных членов. Этот путь приводит к нелинейному закону упругости для малых деформаций.
Исходя из указанных допущений и принятой гипотезы деформирования материала объекта исследования, разрабатывалось формализованное описание состояния деформируемого твёрдого тела под нагрузкой. Полнота описания и уровень формализации состояния деформируемого тела должны были быть доступны для исследования существующими математическими методами и средствами. Требование уровня развития методов и средств исследования в значительной мере могло быть удовлетворено только в последние годы XX столетия в связи с разработкой новых эффективных математических методов исследования краевых задач линейной и нелинейной теории упругости, появлением очень эффективной вычислительной техники и в связи с разработкой компьютерных технологий обработки информации. Всё это в целом явилось основой для разработки новых подходов к исследованию состояния деформируемых твёрдых тел под нагрузкой, которую стало возможным рассматривать не только как определённые внешние силы, но и как действие некоторых объектов внешней среды с возможным учётом их изменённого состояния. Этим мы приходим к понятию физической (механической) системы.
В общем случае под системой понимают конечное множество элементов и связей между ними и между их свойствами, действующими как целостное образование для достижения единой цели.
В настоящей работе рассматриваются системы, элементами которых могут быть недеформируемые и деформируемые твёрдые тела, рассмотренные совместно с их свойствами и связями. Свойства системы зависят от свойств составляющих её элементов, но в целом будут другими. В задачах механики деформируемого твёрдого тела системы содержат элементы разных типов и обладают разнородными связями между ними. Такие системы называют сложными или большими и сложными, в зависимости от количества элементов и их содержания. Сложные системы имеют ряд характерных особенностей. Основными из них являются: уникальность, слабая структурированность теоретических и фактических знаний о системе, составной характер системы, разнородность подсистем и элементов, составляющих систему; случайность и неопределённость факторов, действующих в системе; многокритериальность оценок процессов, протекающих в системе; большая размерность системы [1, 2].
Из изложенного очевидно, что исследование систем деформируемых твёрдых тел методологически и функционально имеет принципиальные отличия от методов исследования отдельных деформируемых твёрдых тел. Основу этой методологии составляют математическое моделирование систем, численные методы исследования математических моделей систем, методы и технология программирования, и вычислительный эксперимент. Содержательный уровень этих составляющих методологии является определяющим фактором полноты и точности исследования состояния систем деформируемых твёрдых тел любой природы и свойств. А это значит, что в качестве исходной задачи может быть определена такая система, что её исследование даже современными средствами математики и вычислительной техники будет очень проблематичным.