- •Математический факультет Кафедра вычислительной математики и программирования
- •Содержание
- •2 Разностные методы решения задач математической физики….…..20
- •Разностные схемы для линейных дифференциальных уравнений
- •1 Математические модели физических систем
- •1.1 Физические системы и методы их исследования
- •Основные определения и понятия
- •Системы деформируемых твёрдых тел
- •1.1.3 Подходы к исследованию систем деформируемых твёрдых тел
- •1.1.4 Средства исследования состояния систем деформируемых твёрдых тел
- •Разностные схемы для основных уравнений математической физики
- •1.2.1 Основные уравнения математической физики и их классификация
- •1.2.2 Разностная аппроксимация основных производных. По определению производная функции одной переменной записывается в виде
- •Это значит, что аппроксимация
- •Общий принцип метода сеток
- •Сходимость, аппроксимация и устойчивость разностных схем
- •2 Разностные методы решения задач математической физики
- •2.1 Разностные схемы для линейных дифференциальных уравнений
- •2.1.1 Краевые задачи для линейных дифференциальных уравнений
- •2.1.2 О задаче Дирихле
- •2.1.3 Разностные аппроксимации уравнений эллиптического типа
- •2.1.4 Разностная аппроксимация граничных условий
- •2.2 Построение разностной аппроксимации задачи Дирихле для
- •2.2.1 Разностная схема задачи Дирихле для уравнения Пуассона.
- •2.2.2 Устойчивость и сходимость разностной задачи Дирихле
- •2.3. Разрешимость разностных уравнений и способы их решения. Правило Рунге
- •2.4. Разностные схемы для линейных дифференциальных
- •2.5. Разностные схемы для линейных дифференциальных уравнений
- •2.5.1. Общая постановка задачи.
- •3. Метод конечных элементов и суперэлементов
- •3.1. Физические предпосылки методов
- •3.2 Деформации твёрдых тел
- •3. 2.1 Линейно-упругие деформации твёрдых тел
- •3.2.2. Нелинейно-упругие деформации твёрдых тел
- •3.3. Прикладные вопросы метода конечных элементов
- •3.3.1. Основная концепция метода конечных элементов
- •3.3.2 Дискретизация и оптимальная нумерация узлов области
- •3.3.3. Метод конечных элементов в теории упругости.
- •3..4 Построение конечно - элементных соотношений
- •3.5. Аналитический алгоритм метода конечных элементов для исследования
- •Свойства матрицы жёсткости
- •3.7 Аналитический алгоритм метода суперэлементов
- •Методы исследования нелинейных математических
- •4.1 Общие предпосылки методов численного исследования нелинейных
- •4.2 Итерационные численные методы
- •4.3 Безитерационные методы исследования нелинейных математических моделей деформируемых твёрдых тел и их систем
- •4.4 Сравнительный анализ эффективности методов исследования
- •5 Основы методологии компьютерного объектно-
- •5.1 Основные понятия и определения
- •5.2 Построение виртуальной физической модели системы
- •5.3 Исходные данные при компьютерном моделировании
- •5.4 Деформации грунтовых оснований при устройстве отдельных
- •6 Технология компьютерного объектно-
- •6.1 Технологические этапы компьютерного объектно-ориентированного
- •6.2 Интерфейс визуального ввода данных
- •7 Программное обеспечение компьютерного
- •7.1 Структура программного обеспечения объектно-ориентированного моделирования системы деформируемых твёрдых тел
- •7.2 Технология объектно-ориентированного программирования
- •Объектно-ориентированного моделирования физической системы
- •7.3 Программный комплекс «Энергия - 2д » моделирования
- •7.4 Программный комплекс «Энергия - ос » моделирования
- •7.5 Программный комплекс «Энергия - 3д » моделирования
- •8 Верификация технологии и программного
- •8.1 Методологические аспекты верификации
- •8.2 Верификация технологии и программного обеспечения
- •8.3 Верификация технологии и программного обеспечения
- •8.4 Верификация технологии и программного обеспечения
- •Численные методы математической физики
- •1. Метод сеток для задачи дирихле
- •1.1. Основы метода сеток
- •1.3.Варианты задания
- •Лабораторная работа №2
- •Дополнение к лабораторной работе №2
- •Лабораторная работа №3 Метод сеток для уравнения параболического типа.
- •Лабораторная работа №4 Метод сеток для уравнения гиперболического типа
3.3. Прикладные вопросы метода конечных элементов
3.3.1. Основная концепция метода конечных элементов
Метод конечных элементов (МКЭ) основан на идее аппроксимации непрерывной функции (температуры, давления, перемещения и т.п.) дискретной моделью, которая строится на множестве кусочно-непрерывных функций, определённых на конечном числе подобластей, называемых конечными элементами. В качестве функции элемента, чаще всего, принимается полином. Порядок полинома определяется числом используемых в каждом узле элемента данных о непрерывной функции. В общем случае форма конечного элемента может быть произвольной, но для удобства математических выкладок их принимают правильной геометрической формы. Конечные элементы могут быть линейные и криволинейные, одномерные, двумерные и трёхмерные. Количество узлов конечного элемента может быть равно или больше количества его вершин. В зависимости от этого качества можно проводить классификацию конечных элементов. Выделяют следующие три группы: симплекс-, комплекс- и мультиплекс-элементы.
Симплекс- элементам соответствуют полиномы, содержащие константу и линейные члены: = 1 + 2 х + 3 у + 4 z ;
Здесь коэффициентов столько сколько узлов.
Комплекс - элементам соответствуют полиномиальные функции, содержащие константу и члены первого и более высоких порядков. Форма комплекс – элемента может быть такой же как и у симплекс - элемента, но комплекс – элементы имеют количество узлов большее количества вершин. Интерполяционный полином для двумерного треугольного комплекс – элемента имеет вид: = 1 + 2 х + 3 у + 4 х2 +5 х у + 6 у2;
Это соотношение содержит шесть коэффициентов, поэтому рассматриваемый элемент должен иметь шесть узлов.
Мультиплекс-элементы отличаются от комплекс – элементов тем, что их границы должны быть параллельны координатным осям, что необходимо для достижения непрерывности при переходе от одного элемента к другому.
Границы и поверхности конечного элемента геометрически могут быть нелинейными все или только их часть. Возможность моделирования криволинейных границ достигается добавлением узлов в середину сторон (плоскостей) конечного элемента.
3.3.2 Дискретизация и оптимальная нумерация узлов области
Процесс дискретизации разделяется на два этапа: разбиение области определения функции на элементы и нумерация элементов и узлов. Каждый этап имеет свои особенности. Разбиение любой области чаще проводят в два этапа:
Разбиение области на подобласти. Подобласти характеризуются стационарностью определяющих характеристик: свойства материала, прилагаемая нагрузка и т.п.
Разбиение подобластей на конечные элементы. При этом предпочтение отдаётся элементам более простой формы, чаще всего это симплекс – элементы.
Размеры подобластей и конечных элементов могут быть различными. На практике в предполагаемых местах высоких градиентов функции или сложной границы дискретизацию проводят элементами малых размеров.
Вопрос нумерации узлов не совсем простой, т.к. порядок нумерации конечных элементов и узлов резко влияет на объём обрабатываемой информации. Применение метода конечных элементов для решения краевых задач приводит к системе линейных алгебраических уравнений с ленточной симметричной матрицей. Ширина её полуленты зависит от порядка нумерации узлов и определяется по формуле
B = (R+1)*Q,
где R – максимальная разность максимальных разностей номеров узлов в конечных элементах, Q – число неизвестных (степеней свободы) в каждом узле. Минимизация B связана с минимизацией R, что достигается выбором направления нумерации узлов и конечных элементов.