- •Математический факультет Кафедра вычислительной математики и программирования
- •Содержание
- •2 Разностные методы решения задач математической физики….…..20
- •Разностные схемы для линейных дифференциальных уравнений
- •1 Математические модели физических систем
- •1.1 Физические системы и методы их исследования
- •Основные определения и понятия
- •Системы деформируемых твёрдых тел
- •1.1.3 Подходы к исследованию систем деформируемых твёрдых тел
- •1.1.4 Средства исследования состояния систем деформируемых твёрдых тел
- •Разностные схемы для основных уравнений математической физики
- •1.2.1 Основные уравнения математической физики и их классификация
- •1.2.2 Разностная аппроксимация основных производных. По определению производная функции одной переменной записывается в виде
- •Это значит, что аппроксимация
- •Общий принцип метода сеток
- •Сходимость, аппроксимация и устойчивость разностных схем
- •2 Разностные методы решения задач математической физики
- •2.1 Разностные схемы для линейных дифференциальных уравнений
- •2.1.1 Краевые задачи для линейных дифференциальных уравнений
- •2.1.2 О задаче Дирихле
- •2.1.3 Разностные аппроксимации уравнений эллиптического типа
- •2.1.4 Разностная аппроксимация граничных условий
- •2.2 Построение разностной аппроксимации задачи Дирихле для
- •2.2.1 Разностная схема задачи Дирихле для уравнения Пуассона.
- •2.2.2 Устойчивость и сходимость разностной задачи Дирихле
- •2.3. Разрешимость разностных уравнений и способы их решения. Правило Рунге
- •2.4. Разностные схемы для линейных дифференциальных
- •2.5. Разностные схемы для линейных дифференциальных уравнений
- •2.5.1. Общая постановка задачи.
- •3. Метод конечных элементов и суперэлементов
- •3.1. Физические предпосылки методов
- •3.2 Деформации твёрдых тел
- •3. 2.1 Линейно-упругие деформации твёрдых тел
- •3.2.2. Нелинейно-упругие деформации твёрдых тел
- •3.3. Прикладные вопросы метода конечных элементов
- •3.3.1. Основная концепция метода конечных элементов
- •3.3.2 Дискретизация и оптимальная нумерация узлов области
- •3.3.3. Метод конечных элементов в теории упругости.
- •3..4 Построение конечно - элементных соотношений
- •3.5. Аналитический алгоритм метода конечных элементов для исследования
- •Свойства матрицы жёсткости
- •3.7 Аналитический алгоритм метода суперэлементов
- •Методы исследования нелинейных математических
- •4.1 Общие предпосылки методов численного исследования нелинейных
- •4.2 Итерационные численные методы
- •4.3 Безитерационные методы исследования нелинейных математических моделей деформируемых твёрдых тел и их систем
- •4.4 Сравнительный анализ эффективности методов исследования
- •5 Основы методологии компьютерного объектно-
- •5.1 Основные понятия и определения
- •5.2 Построение виртуальной физической модели системы
- •5.3 Исходные данные при компьютерном моделировании
- •5.4 Деформации грунтовых оснований при устройстве отдельных
- •6 Технология компьютерного объектно-
- •6.1 Технологические этапы компьютерного объектно-ориентированного
- •6.2 Интерфейс визуального ввода данных
- •7 Программное обеспечение компьютерного
- •7.1 Структура программного обеспечения объектно-ориентированного моделирования системы деформируемых твёрдых тел
- •7.2 Технология объектно-ориентированного программирования
- •Объектно-ориентированного моделирования физической системы
- •7.3 Программный комплекс «Энергия - 2д » моделирования
- •7.4 Программный комплекс «Энергия - ос » моделирования
- •7.5 Программный комплекс «Энергия - 3д » моделирования
- •8 Верификация технологии и программного
- •8.1 Методологические аспекты верификации
- •8.2 Верификация технологии и программного обеспечения
- •8.3 Верификация технологии и программного обеспечения
- •8.4 Верификация технологии и программного обеспечения
- •Численные методы математической физики
- •1. Метод сеток для задачи дирихле
- •1.1. Основы метода сеток
- •1.3.Варианты задания
- •Лабораторная работа №2
- •Дополнение к лабораторной работе №2
- •Лабораторная работа №3 Метод сеток для уравнения параболического типа.
- •Лабораторная работа №4 Метод сеток для уравнения гиперболического типа
2.1.3 Разностные аппроксимации уравнений эллиптического типа
Сущность методики построения разностных аппроксимаций для линейных дифференциальных уравнений эллиптического типа покажем на примере уравнения Пуассона:
, (2.5)
определённого в области D с границей Г. Построим прямоугольную сетку, определив положение узлов (хm ,уn ) по правилу
xm = m h , (m= 0, 1, 2,…),
yn = n l , (n= 0, 1, 2,…).
Сеточную область Dh определим как совокупность узлов, принадлежащих области = D+Г. Для аппроксимации дифференциального оператора разностным используем пятиточечный шаблон. Сеточную область и разностную аппроксимацию строим согласно п.1.2. Очевидно, что построение Dh зависит от того, какой шаблон выбран для аппроксимации дифференциального уравнения. Пусть узел (m.n) Dh. Замену дифференциального уравнения (2.5) разностным будем осуществлять только во внутренних узлах. Тогда для т. (m.n) можем записать:
(2.6)
Заменяя дифференциальные операторы разностными, согласно изложенного в п.1.2, получим
+ = f(xm,yn), (2.7)
xm-1 < xm < xm+1 , yn-1 < yn < yn+1 .
Пусть функции и ограничены по модулю в области , тогда в формуле (2.7) при достаточно малых h и l можно пренебречь членами, содержащими множители h2 и l2 , в итоге получим искомое разностное уравнение
Lh (u (h)) = f(h), (2.8)
где , f(xm,yn). (2.9)
В (2.9) через um,n обозначено приближённое сеточное значение решения уравнения (2.5) , поэтому um,n u(xm,yn) и u(x,y) - решение уравнения (2.5).
Согласно введённых определений и понятий можно из формул (2.7) и (2.8) получить
Lh (uh(x,y)) = f(h) + f(h), (2.10)
где
f(h) = .
При сделанных выше предположениях относительно и , будет иметь место оценка погрешности
|| f(h)||Fh ≤ М h2 , (2.11)
где М - постоянная, не зависящая от h.
Оценка (2.11) означает, что разностное уравнение (2.8) аппроксимирует дифференциальное уравнение (2.5) на решении u(x,y) с погрешностью порядка O( h2).
2.1.4 Разностная аппроксимация граничных условий
Рассмотрим вопрос замены граничных условий (2.1) разностными отношениями на множестве граничных узлов Гh. Пусть т. (m, n) Гh , обозначим её буквой В, т. (m+1,n) –внутренняя точка, ближайшая к точке В по направлению x, обозначим её буквой А. Буквой М обозначим точку контура Г, ближайшую к В по направлению x. Выпишем координаты этих точек: М(хm- ,yn), 0 < < h , B(хm,yn), A(хm+1,yn). По условию (2.1) имеем и|г= φ1(М). Значит можно положить
um,n= φ1(М) (2.12)
для точек (m, n) Гh. Определим погрешность формулы (2.12) . Имеем
φ1(М) = u(хm- , yn) = u(хm, yn) - , хm- < х < хm . Отсюда следует
u(хm, yn) - φ1(М) = u(хm, yn) - um,n = - . (2.13)
Из выражения (2.13) следует, что погрешность формулы (2.12) будет иметь первый порядок относительно h в предположении, что = α h, 0 < α < 1. Если точки М и В совпадают, то формула (2.12) будет точной.
Точность вычисления um,n при (m, n) Гh можно повысить, если воспользоваться ещё значением u(х, y) в точке А. Имеем
u(М) = u(хm- , yn) = u(B) - + , (2.14)
где - некоторая средняя точка между М и В,
u(А) = u(хm+h, yn) = u(B) - + , (2.15)
где - некоторая средняя точка между А и В. Исключив из (2.14)
с помощью формулы (2.15), получим
Отбросив здесь величину О(h2), получим разностное граничное условие, аппроксимирующее граничное условие (2.1) в узле (m, n) Гh с погрешностью порядка О(h2).
Формулы вида (2.12) могут быть записаны для любого узла (m, n) Гh.
Рассмотрим вопрос замены граничных условий (2.2) разностными отношениями на множестве граничных узлов Гh. Пусть т. (m, n) Гh , обозначим её буквой В. Буквой М обозначим точку контура Г, ближайшую к В. Буквой А обозначим внутреннюю точку (m-1,n),
С – граничный узел (m,n-1), n – внешняя нормаль к Г в точке М. Пусть α есть угол между нормалью и осью Ох, β - угол между нормалью и осью Оу. При этом β = 1.5π + α .
Необходимо построить разностную аппроксимацию для граничного условия
|г = φ(М).
По определению имеем: = cos α + cos β = cos α + sin α. (2.16)
Будем считать, что направления нормалей в т.В и т.М совпадают. Т.к. расстояние между этими точками величина порядка О(h), то принятое предположение внесёт погрешность этого же порядка. Значит,
|(M) ≈ |(B) .
В итоге получим (2.17)
Формула (2.17) является искомой разностной аппроксимацией граничного условия |г=φ(М) с погрешностью О(h+l). Выражения (2.17) должны быть записаны для всех узлов (m, n) Гh , вследствие этого будут получены разностные граничные условия, аппроксимирующие граничные условия второго рода.