- •Математический факультет Кафедра вычислительной математики и программирования
- •Содержание
- •2 Разностные методы решения задач математической физики….…..20
- •Разностные схемы для линейных дифференциальных уравнений
- •1 Математические модели физических систем
- •1.1 Физические системы и методы их исследования
- •Основные определения и понятия
- •Системы деформируемых твёрдых тел
- •1.1.3 Подходы к исследованию систем деформируемых твёрдых тел
- •1.1.4 Средства исследования состояния систем деформируемых твёрдых тел
- •Разностные схемы для основных уравнений математической физики
- •1.2.1 Основные уравнения математической физики и их классификация
- •1.2.2 Разностная аппроксимация основных производных. По определению производная функции одной переменной записывается в виде
- •Это значит, что аппроксимация
- •Общий принцип метода сеток
- •Сходимость, аппроксимация и устойчивость разностных схем
- •2 Разностные методы решения задач математической физики
- •2.1 Разностные схемы для линейных дифференциальных уравнений
- •2.1.1 Краевые задачи для линейных дифференциальных уравнений
- •2.1.2 О задаче Дирихле
- •2.1.3 Разностные аппроксимации уравнений эллиптического типа
- •2.1.4 Разностная аппроксимация граничных условий
- •2.2 Построение разностной аппроксимации задачи Дирихле для
- •2.2.1 Разностная схема задачи Дирихле для уравнения Пуассона.
- •2.2.2 Устойчивость и сходимость разностной задачи Дирихле
- •2.3. Разрешимость разностных уравнений и способы их решения. Правило Рунге
- •2.4. Разностные схемы для линейных дифференциальных
- •2.5. Разностные схемы для линейных дифференциальных уравнений
- •2.5.1. Общая постановка задачи.
- •3. Метод конечных элементов и суперэлементов
- •3.1. Физические предпосылки методов
- •3.2 Деформации твёрдых тел
- •3. 2.1 Линейно-упругие деформации твёрдых тел
- •3.2.2. Нелинейно-упругие деформации твёрдых тел
- •3.3. Прикладные вопросы метода конечных элементов
- •3.3.1. Основная концепция метода конечных элементов
- •3.3.2 Дискретизация и оптимальная нумерация узлов области
- •3.3.3. Метод конечных элементов в теории упругости.
- •3..4 Построение конечно - элементных соотношений
- •3.5. Аналитический алгоритм метода конечных элементов для исследования
- •Свойства матрицы жёсткости
- •3.7 Аналитический алгоритм метода суперэлементов
- •Методы исследования нелинейных математических
- •4.1 Общие предпосылки методов численного исследования нелинейных
- •4.2 Итерационные численные методы
- •4.3 Безитерационные методы исследования нелинейных математических моделей деформируемых твёрдых тел и их систем
- •4.4 Сравнительный анализ эффективности методов исследования
- •5 Основы методологии компьютерного объектно-
- •5.1 Основные понятия и определения
- •5.2 Построение виртуальной физической модели системы
- •5.3 Исходные данные при компьютерном моделировании
- •5.4 Деформации грунтовых оснований при устройстве отдельных
- •6 Технология компьютерного объектно-
- •6.1 Технологические этапы компьютерного объектно-ориентированного
- •6.2 Интерфейс визуального ввода данных
- •7 Программное обеспечение компьютерного
- •7.1 Структура программного обеспечения объектно-ориентированного моделирования системы деформируемых твёрдых тел
- •7.2 Технология объектно-ориентированного программирования
- •Объектно-ориентированного моделирования физической системы
- •7.3 Программный комплекс «Энергия - 2д » моделирования
- •7.4 Программный комплекс «Энергия - ос » моделирования
- •7.5 Программный комплекс «Энергия - 3д » моделирования
- •8 Верификация технологии и программного
- •8.1 Методологические аспекты верификации
- •8.2 Верификация технологии и программного обеспечения
- •8.3 Верификация технологии и программного обеспечения
- •8.4 Верификация технологии и программного обеспечения
- •Численные методы математической физики
- •1. Метод сеток для задачи дирихле
- •1.1. Основы метода сеток
- •1.3.Варианты задания
- •Лабораторная работа №2
- •Дополнение к лабораторной работе №2
- •Лабораторная работа №3 Метод сеток для уравнения параболического типа.
- •Лабораторная работа №4 Метод сеток для уравнения гиперболического типа
Это значит, что аппроксимация
(1.4)
будет иметь погрешность
Равенство (1.4) было получено с помощью подстановки в ряд Тейлора х=х0+h, полученный результат называется правой разностью. Если в ряд Тейлора подставить х=х0 - h, то получим другое равенство, называемое левой разностью:
(1.5)
При построении разностных схем дифференциальных операторов потребуются и правая и левая разности. Выведем разностную формулу для ихх . Вначале необходимо построить разностное приближение для ихх через их , а затем заменить их подходящими разностными приближениями. Используя правую разность, получим
(1.6)
Если в эту формулу подставить правые разности для их , то весь окончательный результат окажется как бы «сдвинутым» вправо. Для компенсации этого эффекта используют
левые разности их. Левая разность для заменяется формулой (1.5) и, кроме того, . (1.7)
Как видим, это выражение полностью совпадает с правой разностью для , формула (1.4). Подставим (1.5) и (1.7) в (1.6), получим
(1.8)
Это весьма важный результат, которым в дальнейшем мы будем неоднократно пользоваться. Используя ряд Тейлора можно показать, что погрешность аппроксимации в этом случае будет равна:
Совершенно аналогично можно получить аппроксимацию для производных по направлению у, где шаг обозначим через к.
. (1.9)
При этом ошибка округления будет равна
Используя полученные выражения для аппроксимации первых и вторых производных можно полностью переписать дифференциальные уравнения в частных производных, получив из них уравнения в конечных разностях. Например, общеизвестное уравнение Лапласа можно записать в виде
+ = 0.
Напомним, что все эти выкладки произведены для функции u(x,y) в окрестности точки (x0,y0 ). Но всякое дифференциальное уравнение второго порядка определено в некоторой замкнутой области = D+Г, что может быть представлено сколь угодно большим количеством точек типа . Следовательно, возникает вопрос о методах построения разностных аппроксимаций дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка от двух переменных в двумерной области = D+Г. Метод построения разностных аппроксимаций для дифференциальных уравнений определённых в двумерной области = D+Г получил название метода сеток или метода конечных разностей.
Общий принцип метода сеток
Идею этого метода покажем на примере решения задачи Дирихле для уравнения
где a,b,c,d,q,f – функции независимых переменных х,у; определённые в замкнутой области = D+Г. Будем также считать, что все эти функции непрерывны в D+Г, a,b положительны в D+Г, a q неположительные в ней. Необходимо найти решение уравнения (1.10) , непрерывное в D вплоть до границы Г, и принимающее в точках границы Г заданные значения φ, т.е. и|г= φ, где φ – непрерывная функция на Г.
Для получения численного решения этой задачи произведём дискретизацию D+Г посредством проведения семейства параллельных прямых:
x = x0 +i h , (i= 0, 1, 2,…),
y = y0 +k l , (k= 0, 1, 2,…).
Точки пересечения этих прямых называют узлами. Два узла называют соседними, если они удалены друг от друга в направлении х или у на один шаг сетки в направлении соответствующей оси. Рассматривать будем только узлы, принадлежащие = D+Г. Узлы, у которых все четыре соседних узла принадлежат множеству узлов D+Г, называют внутренними. Множество внутренних узлов называется сеточной областью, обозначим её Dh = {Mh}. Функция, определённая в узлах сетки, называется сеточной функцией. Узлы, у которых хотя бы один соседний узел не принадлежат к рассматриваемому множеству, называют граничными, совокупность их называют границей сеточной области. Для каждого внутреннего узла (i,k) составим разностное уравнение для заданного уравнения (1.10), заменив в точке (x0 +i h, y0 +k l) производные, входящие в (1.10), разностными соотношениями (1.4), (1.5), (1.8), (1.9). Для краткости записей в дальнейшем примем обозначения: и(x0 +i h, y0 +k l)= иi,k . Коэффициенты в (1.10) в узле (i,k) будем обозначать через ai,k, bi,k ,…fi,k . Тогда для узла (i,k) дифференциального уравнения (1.10) в конечных разностях получим следующее выражение
Уравнения типа (1.11) можно записывать для каждого внутреннего узла. Если же узел (i,k) является граничным узлом, то в этом узле иik= φ|г в ближайшей к этому узлу точке Г. В итоге для решения задачи (1.11) в области D+Г получим систему линейных алгебраических уравнений, в которой число уравнений равно числу неизвестных. Если эта система разрешима, то, решив её, получим приближённые значения искомого решения на конечном множестве точек, являющихся внутренними узлами. Но при такой постановке решения дифференциального уравнения (1.10) сразу возникают вопросы сходимости, аппроксимации и устойчивости разностных схем.