- •Математический факультет Кафедра вычислительной математики и программирования
- •Содержание
- •2 Разностные методы решения задач математической физики….…..20
- •Разностные схемы для линейных дифференциальных уравнений
- •1 Математические модели физических систем
- •1.1 Физические системы и методы их исследования
- •Основные определения и понятия
- •Системы деформируемых твёрдых тел
- •1.1.3 Подходы к исследованию систем деформируемых твёрдых тел
- •1.1.4 Средства исследования состояния систем деформируемых твёрдых тел
- •Разностные схемы для основных уравнений математической физики
- •1.2.1 Основные уравнения математической физики и их классификация
- •1.2.2 Разностная аппроксимация основных производных. По определению производная функции одной переменной записывается в виде
- •Это значит, что аппроксимация
- •Общий принцип метода сеток
- •Сходимость, аппроксимация и устойчивость разностных схем
- •2 Разностные методы решения задач математической физики
- •2.1 Разностные схемы для линейных дифференциальных уравнений
- •2.1.1 Краевые задачи для линейных дифференциальных уравнений
- •2.1.2 О задаче Дирихле
- •2.1.3 Разностные аппроксимации уравнений эллиптического типа
- •2.1.4 Разностная аппроксимация граничных условий
- •2.2 Построение разностной аппроксимации задачи Дирихле для
- •2.2.1 Разностная схема задачи Дирихле для уравнения Пуассона.
- •2.2.2 Устойчивость и сходимость разностной задачи Дирихле
- •2.3. Разрешимость разностных уравнений и способы их решения. Правило Рунге
- •2.4. Разностные схемы для линейных дифференциальных
- •2.5. Разностные схемы для линейных дифференциальных уравнений
- •2.5.1. Общая постановка задачи.
- •3. Метод конечных элементов и суперэлементов
- •3.1. Физические предпосылки методов
- •3.2 Деформации твёрдых тел
- •3. 2.1 Линейно-упругие деформации твёрдых тел
- •3.2.2. Нелинейно-упругие деформации твёрдых тел
- •3.3. Прикладные вопросы метода конечных элементов
- •3.3.1. Основная концепция метода конечных элементов
- •3.3.2 Дискретизация и оптимальная нумерация узлов области
- •3.3.3. Метод конечных элементов в теории упругости.
- •3..4 Построение конечно - элементных соотношений
- •3.5. Аналитический алгоритм метода конечных элементов для исследования
- •Свойства матрицы жёсткости
- •3.7 Аналитический алгоритм метода суперэлементов
- •Методы исследования нелинейных математических
- •4.1 Общие предпосылки методов численного исследования нелинейных
- •4.2 Итерационные численные методы
- •4.3 Безитерационные методы исследования нелинейных математических моделей деформируемых твёрдых тел и их систем
- •4.4 Сравнительный анализ эффективности методов исследования
- •5 Основы методологии компьютерного объектно-
- •5.1 Основные понятия и определения
- •5.2 Построение виртуальной физической модели системы
- •5.3 Исходные данные при компьютерном моделировании
- •5.4 Деформации грунтовых оснований при устройстве отдельных
- •6 Технология компьютерного объектно-
- •6.1 Технологические этапы компьютерного объектно-ориентированного
- •6.2 Интерфейс визуального ввода данных
- •7 Программное обеспечение компьютерного
- •7.1 Структура программного обеспечения объектно-ориентированного моделирования системы деформируемых твёрдых тел
- •7.2 Технология объектно-ориентированного программирования
- •Объектно-ориентированного моделирования физической системы
- •7.3 Программный комплекс «Энергия - 2д » моделирования
- •7.4 Программный комплекс «Энергия - ос » моделирования
- •7.5 Программный комплекс «Энергия - 3д » моделирования
- •8 Верификация технологии и программного
- •8.1 Методологические аспекты верификации
- •8.2 Верификация технологии и программного обеспечения
- •8.3 Верификация технологии и программного обеспечения
- •8.4 Верификация технологии и программного обеспечения
- •Численные методы математической физики
- •1. Метод сеток для задачи дирихле
- •1.1. Основы метода сеток
- •1.3.Варианты задания
- •Лабораторная работа №2
- •Дополнение к лабораторной работе №2
- •Лабораторная работа №3 Метод сеток для уравнения параболического типа.
- •Лабораторная работа №4 Метод сеток для уравнения гиперболического типа
1 Математические модели физических систем
1.1 Физические системы и методы их исследования
Основные определения и понятия
В общем случае под системой понимают конечное множество элементов и связей между ними и между их свойствами, действующими как целостное образование для достижения единой цели.
Элементом называется некоторый объект (материальный, информационный и др.), обладающий рядом определённых свойств, но внутреннее строение (содержание) которого безотносительно к цели рассмотрения.
Связью называют важный для целей рассмотрения обмен между элементами веществом, энергией, информацией, т.е. фактор, связывающий элементы и их свойства в единое целое. Связи позволяют посредством переходов от элемента к элементу соединить два любых элемента совокупности.
Свойства – это качества параметров объектов, они могут изменяться в результате действия системы. Свойства дают возможность описывать объекты системы количественно.
Любая система характеризуется двумя признаками:
связностью, т.е. наличием связи между элементами;
функцией, суть этого качества в том, что свойства системы отличаются от свойств отдельных её элементов.
В задачах механики деформируемого твёрдого тела системы содержат элементы разных типов и обладают разнородными связями между ними. Такие системы называют сложными или большими и сложными, в зависимости от количества элементов и их содержания. Сложные системы имеют ряд характерных особенностей. Основными из них являются: уникальность, слабая структурированность теоретических и фактических знаний о системе, составной характер системы, разнородность подсистем и элементов системы; большая размерность системы. Всякая система существует в некоторой окружающей среде, обуславливается ею и имеет свою границу. Говорят, что система действует внутри её. Для конкретной системы окружающая среда есть совокупность всех объектов, изменение свойств которых влияет на систему, а также тех объектов, свойства которых меняются в результате поведения системы. Отсюда следует, что разделение пространства на две совокупности – система и окружающая среда – несколько условно и может носить субъективный характер [1,2].
Главными отличительными чертами сложной системы является её целенаправленный характер (цель функционирования), структурное представление, т.е. наличие выделяемых частей (подсистем) и вероятностный характер её взаимодействия с внешней средой. Выделяемые части системы могут иметь материальную, функциональную, алгоритмическую и другую основу. Между выделяемыми частями всегда устанавливается связь. Такое разделение системы с указанием связей между выделяемыми частями даёт представление о системе в целом и на время изучения системы сохраняется неизменным. Близким к понятию структуры является термин «декомпозиция».
Декомпозицией называется деление системы на части, удобное для каких-либо операций с этой системой. Важнейшим стимулом и сутью декомпозиции является упрощение системы, слишком сложной для рассмотрения целиком. Такое упрощение может:
фактически приводить к замене системы на некоторую другую, в каком-то смысле соответствующую исходной. Это делается вводом гипотез об отбрасывании или ослаблении отдельных связей в системе;
полностью соответствовать исходной системе и при этом облегчать работу с ней - такая декомпозиция, называемая строгой, требует специальных процедур согласования.
Группа элементов системы, описываемая только своими входами и выходами и обладающая определенной целостностью, называется модулем. Система может представляться набором модулей и сама рассматриваться как модуль. Модульное построение системы, как правило, определяет ее декомпозицию. Нередко оно определяет и структуру. Любой элемент системы обладает рядом свойств. В процессе функционирования системы могут измениться свойства и характеристики группы элементов, модуля и системы в целом. Зафиксируем все значения характеристик в системе, важных для целей рассмотрения. Такую ситуацию назовем состоянием системы. Пусть хотя бы одна такая характеристика изменилась. Это будет новое состояние системы. Аналогично можно рассматривать третье и т.д. состояния, т.е. их набор. Но набор состояний это еще не процесс. Пусть выбран некоторый физический параметр (чаще всего время) - такой, что различные состояния соответствуют разным его значениям. Процессом назовем набор состояний системы, соответствующий упорядоченному непрерывному или дискретному изменению некоторого параметра, определяющего характеристики (свойства) системы.