4.2 Итерационные численные методы

Метод упругих решений

Если определяющее уравнение (3.3) разрешимо относительно напряжений, то соотношение (3.2) для упругого материала можно привести к виду: {} = f({}), задавая соответствующим образом {₀}. Так как {₀} влияет на вектор внешних сил {P}, то приходим к решению уравнения

[K]{U}={P({U})}.

Итерационный процесс производится следующим образом. Сначала находится решение {U}₀=[K]^-1{P}₀, где {P}₀ соответствует приложенным нагрузкам. Определяются напряжения {₀}₁, необходимые для приведения упругого решения в соответствие с реальными напряжениями при достигнутых деформациях. Далее, с учетом начального напряжения, находятся {P}₁ , {U}₁ = [K]^-1{P}₁ и т. д. Процесс останавливается аналогично методу переменной жесткости. Этот метод разработан академиком А.А.Ильюшиным.

В зарубежной литературе и иногда в отечественной этот метод называют методом начальных напряжений.

Другой подход состоит в определении только изменений {P}, обусловленных изменениями требуемого начального напряжения. В этом случае {U}₀ находится, как и ранее, но

{U}₁ = [K]^-1 {P}₁ и т. д.

Итерации продолжаются до тех пор, пока величина {U}_i не станет достаточно близкой к нулю. На каждом этапе во всех точках определяется разность между истинными напряжениями при соответствующих деформациях напряжениями, найденными в результате решения системы. Эта разность затем перераспределяется в соответствии с упругим законом, чтобы восстановить равновесие. В этом методе на каждой итерации используется одна и та же матрица жесткости и, если она обратима, то время, необходимое на каждую итерацию, составляет небольшую часть времени, затрачиваемого на получение первого приближения.

Характерной особенностью этих методов является их медленная сходимость, более того, чем больше размерность исследуемой системы в её дискретном представлении, тем медленнее сходимость. Этим самым возникает вопрос технической реализуемости и достоверности исследования сложных нелинейных систем деформируемых твёрдых тел.

Метод переменной жесткости

Этот метод используется тогда, когда уравнение закона деформирования (3.3) известно в явном виде. По аналогии с (3.2), уравнение закона деформирования для нелинейных деформаций можно записать таким образом:

{} = [D  _  ₀}. (4.4)

Используя (3.4) для построения основного уравнения МКЭ, получим:

[K({U})]{U} = {P}. (4.5)

Начальные напряжения и деформации из (4.4) вошли в вектор {P} из (4.5). Система (4.5) решается итерационно:

1) На основании физических данных определяются упругие характеристики тела и строится система (4.5). Она будет эквивалентна системе (4.4).

2) Решается полученная система и определяется вектор {U}.

3) Исходя из уравнения закона деформирования, вычисляется [D({U₀})] (вектор {U₀} - первое приближение решения) и матрица [K({U₀})].

4) Решается система (4.5) с полученной матрицей жесткости.

Пункты 3) и 4) повторяются до тех пор, пока {U_i+1} - {U_i}  {ξ},

где { ξ } - вектор допустимой точности решения.

Существенным недостатком метода переменной жесткости является необходимость пересчитывать на каждом шаге матрицу жесткости.