3. Сходимость, аппроксимация и устойчивость разностных схем

Содержание этих вопросов определим в самой общей постановке.

Рассмотрим дифференциальное уравнение

L (u) = f, (1.12)

заданное в некоторой замкнутой области = D+Г и и его решение. Также рассмотрим множество D_h ={M_h}, состоящее из изолированных точек M_h = D+Г. Число точек будем характеризовать величиной h, чем меньше h, тем больше точек в D_h . Обозначим через U пространство непрерывных в D функций u(x,y). Через U_h обозначим пространство, образованное совокупностью сеточных функций u_h(x,y), определённых на D_h . В методе сеток (МКР) осуществляется замена пространства U на пространство U_h.

Будем считать, что u(x,y) U и является точным решением (1.12). Необходимо вычислить значения u_h(x,y). Аналитически эта задача пока неразрешима. Возможно только вычислить некоторые сеточные значения u^(h) такие, что u^(h)≈ u_h(x,y). Здесь u ^(h)– это приближённые сеточные значения решения u(x,y). Для их вычисления строят систему линейных алгебраических уравнений, которую будем записывать в виде

L_h (u ^(h)) = f^(h), (1.13)

где L_h - разностный оператор, соответствующий оператору L, f^(h) F_h.. Если f(x,y) F, то F_h образуется по F так же, как U_h образовалось по U.

Выражение (1.13) называется разностной схемой. В линейных пространствах U_h и F_h введём нормы ||·||_Uh и ||·||_Fh , которые являются сеточными аналогами норм ||·||_U и ||·||_F в исходных пространствах U и F.

Разностная схема (1.13) будет сходящейся, если при h 0 выполняется условие

|| u_h(x,y) - u^(h) ||_Uh 0.

Если выполняется условие

|| u_h(x,y) - u^(h) ||_Uh ≤ C h^s ,

где С – постоянная, не зависящая от h, s > 0, то говорят, что сходимость имеет место со скоростью порядка s относительно h.

Говорят, что разностная схема (1.13) аппроксимирует задачу (1.12) на решении u(x,y), если

L_h (u_h(x,y)) = f^(h) + f^(h), и || f^(h)||_Fh 0 при h 0.

Величина f^(h) называется погрешностью аппроксимации.

Если || f^(h)||_Fh ≤ М h , где М - постоянная, не зависящая от h, > 0, то говорят, что разностная схема (1.13) аппроксимирует задачу (1.12) на решении u(x,y) с погрешностью порядка относительно h.

Введём понятие устойчивости разностной схемы (1.13). Разностная схема (1.13) называется устойчивой, если существует такое h₀ > 0, что для всех h < h₀ и любых f^(h) F_h выполняются условия:

1. разностная схема (1.13) имеет единственное решение;

2. || u^(h)|| _Uh ≤ М ||f^(h)||_Fh, где М - постоянная, не зависящая от h и f^(h) .

Из этого определения видно, что устойчивость разностной схемы связывается с понятием норм, вводимых в линейных пространствах U_h и F_h . Возможны случаи, когда условие 2) будет выполняться для некоторых норм и не будет выполняться для других норм. В каждом отдельном случае необходимо выяснить причины, в силу которых условие 2) не будет выполняться. Возможно, необходимы другие способы введения норм в U_h и F_h с тем, чтобы добиться выполнения условия 2). Если же условие 2) не выполняется при любом выборе норм, то это будет означать, что разностная схема не устойчива.

Устойчивость является внутренним свойством разностной схемы и поэтому на устойчивость можно влиять, изменяя некоторые параметры, входящие в разностную схему, или вообще видоизменяя всю разностную схему.

Содержание понятий сходимости, аппроксимации и устойчивости взаимосвязаны. Суть этой связи в том, что из аппроксимации и устойчивости следует сходимость.

Теорема1. Пусть разностная схема L_h (u ^(h)) = f^(h) аппроксимирует задачу

L (u) = f на решении u(x,y) с порядком s > 0 относительно h и устойчива. Тогда эта схема будет сходящейся, и порядок её сходимости будет совпадать с порядком аппроксимации, т.е. будет справедлива оценка

|| u_h(x,y) - u^(h) ||_Uh ≤ К h^s, (1.14)

где К – постоянная, не зависящая от h.

Анализ изложенного материала позволят сделать некоторые общие выводы о методике построения и исследования разностных схем.

1. Определяется правило выбора сетки, т.е. правило замены области = D+Г некоторой сеточной областью.

2. Строится одна или несколько разностных схем. Проверяется условие аппроксимации разностных схем.

3. Доказывается устойчивость построенных разностных схем.

4. Исследуется вопрос численного решения разностных схем.

Содержание этих вопросов будет рассмотрено при численном решении эллиптических, параболических и гиперболических дифференциальных уравнений.